Question

Tga/1+tga+tga/1-tga=tg2a Доведіть тотожність

Answer 1

Ответ:

$\frac{tg\alpha}{1+tg\alpha}+\frac{tg\alpha}{1-tg\alpha}=tg2\alpha$

Объяснение:

$\frac{tg\alpha}{1+tg\alpha}+\frac{tg\alpha}{1-tg\alpha}=\frac{tg\alpha(1-tg\alpha)}{(1+tg\alpha)(1-tg\alpha)}+\frac{tg\alpha(1+tg\alpha)}{(1+tg\alpha)(1-tg\alpha)}=$

$\frac{tg\alpha(1-tg\alpha)+tg\alpha(1+tg\alpha)}{1-tg^2\alpha}=\frac{tg\alpha-tg^2\alpha+tg\alpha+tg^2\alpha}{1-tg^2\alpha}=$

$\frac{2tg\alpha}{1-tg^2\alpha}=\frac{2\cdot\frac{sin\alpha}{cos\alpha}}{1-\frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}}=\frac{2tg\alpha}{1-tg^2\alpha}=\frac{\frac{2sin\alpha}{cos\alpha}}{\frac{cos^2\alpha}{cos^2\alpha}-\frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}}=$

$\frac{\frac{2sin\alpha}{cos\alpha}}{\frac{cos^2\alpha}{cos^2\alpha}-\frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}}=\frac{\frac{2sin\alpha}{cos\alpha}}{\frac{cos^2\alpha-sin^2\alpha}{cos^2\alpha}}=$

$\frac{2sin\alpha}{cos\alpha}\cdot\frac{cos^2\alpha}{cos^2\alpha-sin^2\alpha}=\frac{2sin\alpha cos\alpha}{cos^2\alpha-sin^2\alpha}=\frac{sin 2\alpha}{cos2\alpha}=tg2\alpha$

Answer 2

Щоб довести тотожність tga/(1+tga) + tga/(1-tga) = tg(2a), розглянемо ліву і праву частини окремо і спробуємо перетворити їх у рівні вирази.

Ліва частина: tga/(1+tga) + tga/(1-tga)

Спрощуємо спільний знаменник, множачи перший дріб на (1-tga) і другий дріб на (1+tga):

[tga(1-tga) + tga(1+tga)] / [(1+tga)(1-tga)]

Розкриваємо дужки у чисельнику:

[tga - tga^2 + tga + tga^2] / [(1+tga)(1-tga)]

Зауважте, що -tga^2 і tga^2 у чисельнику скасовуються:

[2tga] / [(1+tga)(1-tga)]

Тепер скористаємося ідентичністю тангенсу подвійного кута (tg(2a) = 2tga / (1 - tga^2)):

[2tga] / [(1+tga)(1-tga)] = tg(2a)

Таким чином, ми довели, що tga/(1+tga) + tga/(1-tga) = tg(2a).