Question

Знайди корені рівняння. cos² x - cosx = 0​

Answer 1

Ответ:

t = cos x

Тоді рівняння перетвориться на квадратне:

t² - t = 0

Факторизуємо його:

t(t - 1) = 0

Отримали дві можливі значення для t:

t₁ = 0 і t₂ = 1

Повертаємось до виразу для cos x:

cos x = t

Тому корені рівняння:

cos x = 0 або cos x = 1

π/2 π 3π/2 2π

Оскільки cos x - це періодична функція з періодом 2π, то корені на проміжку [0, 2π) будуть:

x₁ = π/2 і x₂ = 3π/2 для cos x = 0

x₃ = 0 і x₄ = 2π для cos x = 1

Отже, розв'язки рівняння cos² x - cos x = 0 на проміжку [0, 2π) є:

x₁ = π/2, x₂ = 3π/2, x₃ = 0, x₄ = 2π.

Answer 2

Щоб знайти корені рівняння cos²(x) - cos(x) = 0, спробуємо його розкласти на множники:

cos(x)(cos(x) - 1) = 0

Тепер використаємо властивість добутку, рівний нулю:

cos(x) = 0 або cos(x) - 1 = 0

1. Щоб знайти розв'язки для першого рівняння, розв'яжемо:

cos(x) = 0

Основні значення косинуса дорівнюють 0 при x = π/2 + kπ, де k - ціле число. Таким чином, розв'язками цього рівняння є:

x₁ = π/2 + kπ

2. Тепер знайдемо розв'язки для другого рівняння:

cos(x) - 1 = 0

Звідси маємо:

cos(x) = 1

Основне значення косинуса дорівнює 1 при x = 2kπ, де k - ціле число. Таким чином, розв'язками другого рівняння є:

x₂ = 2kπ

Отже, розв'язки початкового рівняння cos²(x) - cos(x) = 0 є об'єднанням розв'язків двох підрівнянь:

x₁ = π/2 + kπ x₂ = 2kπ

де k - ціле число.