Question

Решить лёгким способом уравнение:cosx - cos3x = cos2x - cos4x​

Answer 1

Ответ:

Применяем формулы разности косинусов и разности синусов :

$\bf cos\alpha -cos\beta =2\, sin\dfrac{\alpha +\beta }{2}\cdot sin\dfrac{\beta -\alpha }{2}\ \ \ ,\\\\\\ sin\alpha -sin\beta =2\, sin\dfrac{\alpha -\beta }{2}\cdot cos\dfrac{\alpha +\beta }{2}$  .

Решить уравнение .

$\bf cosx-cos3x=cos2x-cos4x\\\\2\, sin2x\cdot sinx=2sin3x\cdot sinx\\\\2\, sinx\cdot (sin2x-sin3x)=0\\\\sinx\cdot 2\, sin\Big(-\dfrac{x}{2}\Big)\cdot cos\dfrac{5x}{2}=0\\\\a)\ \ sinx=0\ \ ,\ \ x=\pi n\ ,\ \ n\in Z\\\\b)\ \ sin\dfrac{x}{2}=0\ \ ,\ \ \dfrac{x}{2}=\pi k\ \ ,\ \ x=2\pi k\ \ ,\ \ k\in Z\\\\c)\ \ cos\dfrac{5x}{2}=0\ \ ,\ \ \dfrac{5x}{2}=\dfrac{\pi }{2}+\pi m\ \ ,\ \ x=\dfrac{\pi }{5}+2\pi m\ \ ,\ \ m\in Z$  

Решения из серии  b)  входят в решения из серии  а) , поэтому их можно объединить .

Ответ:    $\bf x=\pi n\ ,\ x=\dfrac{\pi}{5}+2\pi m\ \ ,\ n,m\in Z\ .$

Answer 2

Давайте решим данное уравнение шаг за шагом.

Начнем с правой стороны уравнения: cos2x - cos4x.

Мы можем использовать тригонометрическую формулу разности для косинуса: cos(A - B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B).

Применяя эту формулу, получаем: cos2x - cos4x = cos(2x - 4x) = cos(-2x) = cos2x.

Теперь наше уравнение выглядит так: cosx - cos3x = cos2x.

Теперь мы можем использовать формулу суммы для косинуса: cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B).

Применяя эту формулу к левой стороне уравнения, получаем: cosx - cos3x = cos(x + 3x) = cos(4x).

Теперь наше уравнение выглядит так: cos(4x) = cos2x.

Для решения этого уравнения мы можем использовать тригонометрическую формулу равенства для косинуса: cos(A) = cos(B) имеет место быть, если A = ±B + 2πn, где n - целое число.

Применяя эту формулу, получаем два случая:

1. 4x = 2x + 2πn, 2x = 2πn, x = πn.

2. 4x = -2x + 2πn, 6x = 2πn, x = (1/3)πn.

Таким образом, решением уравнения cosx - cos3x = cos2x - cos4x являются значения x = πn и x = (1/3)πn, где n - целое число.