Question

Доведіть що 55³+56³ ділиться на 37 допоможіть ❤️❤️ ​

Answer 1

Ответ:

решение смотри на фотографии

Answer 2

Щоб довести, що число $55^3 + 56^3$ ділиться на 37, ми можемо використати конгруенцію за модулем 37. Конгруенція стверджує, що якщо два числа мають однаковий залишок при діленні на деяке число, то їх різниця також ділиться на це число. У нашому випадку ми будемо перевіряти, чи ділиться $55^3 + 56^3$ на 37.

Ми можемо записати $55^3 + 56^3$ як $(54 + 1)^3 + (54 + 2)^3$. Тоді використаємо біном Ньютона для розкриття цих кубів:

$(54 + 1)^3 + (54 + 2)^3 = (54^3 + 3 \cdot 54^2 \cdot 1 + 3 \cdot 54 \cdot 1^2 + 1^3) + (54^3 + 3 \cdot 54^2 \cdot 2 + 3 \cdot 54 \cdot 2^2 + 2^3)$.

Спростимо це вираз:

$= 2 \cdot 54^3 + 3 \cdot (54^2 \cdot 1 + 54^2 \cdot 2) + 3 \cdot (54 \cdot 1^2 + 54 \cdot 2^2) + (1^3 + 2^3)$.

Тепер зосередимось на останній частині виразу:

$= 2 \cdot 54^3 + 3 \cdot 54^2 \cdot (1 + 2) + 3 \cdot 54 \cdot (1^2 + 2^2) + 9$.

Ми можемо записати це як:

$= 2 \cdot 54^3 + 3 \cdot 54^2 \cdot 3 + 3 \cdot 54 \cdot 5 + 9$.

Подивимось на кожен окремий доданок:

1. $2 \cdot 54^3$ ділиться на 37, оскільки 2 і 54 діляться на 37.
2. $3 \cdot 54^2 \cdot 3$ ділиться на 37, оскільки 3 і 54 діляться на 37.
3. $3 \cdot 54 \cdot 5$ ділиться на 37, оскільки 3 і 54 діляться на 37.
4. 9 ділиться на 37.

Таким чином, кожен окремий доданок ділиться на 37. Значить, сума всіх доданків також ділиться на 37. Тому ми довели, що (55^3 + 56^3