Question

6корень5(4корень2-1)cos(arcsin2/корень5 - arccos(1/3))

Answer 1

Ответ:

62.

Объяснение:

Вычислить

$6\sqrt{5} (4\sqrt{2} -1) \cdot cos \left( arcsin \dfrac{2}{\sqrt{5} } -arccos \dfrac{1}{3} \right)$

Пусть $arcsin \dfrac{2}{\sqrt{5} } =\alpha$    и     $arccos \dfrac{1}{3} =\beta$

Тогда       $sin\alpha = \dfrac{2}{\sqrt{5} }$     и   $cos\beta =\dfrac{1}{3}$

Так как значения синуса и косинуса положительные числа, то

α, β∈ I четверти .

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством

$sin^{2} \alpha +cos^{2} \alpha =1$

$cos \alpha =\pm \sqrt{1- sin^{2} \alpha }$

Так как в первой четверти косинус положительный, то

$cos \alpha = \sqrt{1- sin^{2} \alpha };\\\\cos\alpha =\sqrt{1-\left (\dfrac{2}{\sqrt{5} }\right)^{2} } =\sqrt{1-\dfrac{4}{5} } =\sqrt{\dfrac{1}{5} } =\dfrac{1}{\sqrt{5} }$

$sin^{2} \beta +cos^{2} \beta =1$

$sin^{2} \beta =1-cos^{2} \beta ;\\sin \beta =\pm \sqrt{1- cos^{2} \beta }$

Так как в первой четверти синус положительный, то

$\\sin \beta = \sqrt{1- cos^{2} \beta }$

$sin \beta =\sqrt{1-\left(\dfrac{1}{3} \right)^{2} } =\sqrt{1-\dfrac{1}{9} } =\sqrt{\dfrac{8}{9} } =\dfrac{\sqrt{8} }{\sqrt{9} } =\dfrac{2\sqrt{2} }{3}$

Воспользуемся формулой

$cos ( \alpha -\beta )= cos\alpha \cdot cos\beta +sin \alpha \cdot sin \beta$

$cos ( \alpha -\beta )= \dfrac{1}{\sqrt{5} } \cdot \dfrac{1}{3} +\dfrac{2}{\sqrt{5} } \cdot \dfrac{2\sqrt{2} }{3} =\dfrac{1}{3\sqrt{5} } +\dfrac{4\sqrt{2} }{3\sqrt{5} } =\dfrac{1+4\sqrt{2} }{3\sqrt{5} }$

Тогда можно найти значение выражения

$6\sqrt{5} (4\sqrt{2} -1) \cdot cos \left( arcsin \dfrac{2}{\sqrt{5} } -arccos \dfrac{1}{3} \right)=6\sqrt{5} (4\sqrt{2} -1) \cdot\dfrac{1++4\sqrt{2} }{3\sqrt{5} } =\\\\=\dfrac{6\sqrt{5} \cdot ( 4\sqrt{2}-1)(4\sqrt{2} +1) }{3\sqrt{5} } =2\cdot ( (4\sqrt{2} )^{2} -1^{2} )= 2\cdot ( 32-1)= 2\cdot 31 =62.$

#SPJ1

Answer 2

To simplify the expression, let's break it down step by step:

1. Let's start with the innermost expression: cos(arcsin(2/√5) - arccos(1/3))

   Using the identity: cos(A - B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B) Let A = arcsin(2/√5) and B = arccos(1/3)

   cos(arcsin(2/√5) - arccos(1/3)) = cos(arcsin(2/√5))cos(arccos(1/3)) + sin(arcsin(2/√5))sin(arccos(1/3))

   Applying trigonometric identities: sin(arcsin(x)) = x and cos(arccos(x)) = x

   cos(arcsin(2/√5) - arccos(1/3)) = (2/√5)(1/3) + (√(1 - (2/√5)²))(1/√3) = 2/3√5 + √(1 - 4/5)/√3 = 2/3√5 + √(1/5)/√3 = 2/3√5 + 1/√15

2. Now let's simplify the expression inside the outer square root: 4√2 - 1

3. Substitute the simplified values into the main expression: 6√5(4√2 - 1)(2/3√5 + 1/√15)

   Simplifying further: (6 * 4 * 2 + 6 * 4 * (-1))(2/3√5 + 1/√15) = (48 - 24)(2/3√5 + 1/√15) = 24(2/3√5 + 1/√15) = 16√5 + 8/√15

So, the simplified form of the expression 6√5(4√2 - 1)cos(arcsin(2/√5) - arccos(1/3)) is 16√5 + 8/√15.