Question

Сума гіпотенузи і одного з катетів прямокутного трикутника дорівнює 90 см. Якщо цей катет збільшити на 27 см, а другий катет зменшити на 21 см, то одержимо прямокутний трикутник з тією ж самою гіпотенузою. Знайдіть сторони даного трикутника.​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Ответ:

30 см

Объяснение:

Сумма гипотенузы c и одного катета a прямоугольного треугольника равна 25 см.

Если этот катет a уменьшить на 7 см, а другой катет b увеличить на 7 см, то мы получим треугольник с такой же гипотенузой c.

Найти периметр этого треугольника.

Решение:

a + c = 25, отсюда c = 25 - a

По теореме Пифагора для данного треугольника:

a^2 + b^2 = c^2 = (25 - a)^2

a^2 + b^2 = 625 - 50a + a^2

b^2 = 625 - 50a    (1)

Если катет a уменьшить на 7 см, а катет b увеличить на 7 см, то получится треугольник с такой же гипотенузой c.

По теореме Пифагора для нового треугольника:

(a-7)^2 + (b+7)^2 = c^2 = (25 - a)^2

a^2 - 14a + 49 + b^2 + 14b + 49 = 625 - 50a + a^2

b^2 - 14a + 14b + 98 = 625 - 50a      (2)

Подставляем b^2 из уравнения (1) в уравнение (2):

625 - 50a - 14a + 14b + 98 = 625 - 50a

- 14a + 14b + 98 = 0

Переносим a отдельно и делим всё на 14:

a = b + 7     (3)

Подставляем это уравнение (3) в уравнение (1):

b^2 = 625 - 50(b + 7)

b^2 + 50b + 350 - 625 = 0

b^2 + 50b - 275 = 0

D/4 = 25^2 + 275 = 625 + 275 = 900 = 30^2

b1 = -25 - 30 = -55 < 0 - не подходит

b2 = -25 + 30 = 5 см - это длина второго катета.

a = b + 7 = 5 + 7 = 12 см - это длина первого катета.

c = 25 - a = 25 - 12 = 13 см - это длина гипотенузы.

Периметр этого треугольника:

P = 5 + 12 + 13 = 30 см

Если а уменьшить на 7 см, а b увеличить на 7 см, то получится:

a - 7 = 12 - 7 = 5 см, b + 7 = 5 + 7 = 12 см.

Получится другой такой же треугольник с катетами 5 и 12 см, и с такой же гипотенузой c = 13 см.

Answer 2

Позначимо сторони прямокутного трикутника як a, b і c, де c - гіпотенуза.

За умовою задачі, маємо два рівняння:

1. a + c = 90 (сума гіпотенузи і одного з катетів дорівнює 90 см)
2. (a + 27)^2 + (b - 21)^2 = c^2 (якщо перший катет збільшити на 27 см, а другий катет зменшити на 21 см, то одержимо прямокутний трикутник з тією ж самою гіпотенузою)

Розкриємо друге рівняння:

(a + 27)^2 + (b - 21)^2 = c^2 a^2 + 54a + 729 + b^2 - 42b + 441 = c^2 a^2 + b^2 + 54a - 42b + 1170 = c^2

Замінимо c^2 в цьому рівнянні за допомогою першого рівняння:

a^2 + b^2 + 54a - 42b + 1170 = (90 - a)^2 a^2 + b^2 + 54a - 42b + 1170 = 8100 - 180a + a^2 180a - 54a + 42b = 8100 - 1170 - b^2 + 42b 126a - b^2 = 6930

Тепер ми маємо систему двох рівнянь:

1. a + c = 90
2. 126a - b^2 = 6930

З першого рівняння ми можемо виразити c:

c = 90 - a

Підставимо це значення в друге рівняння:

126a - b^2 = 6930

Тепер ми маємо систему одного рівняння:

126a - b^2 = 6930

Розв'язавши це рівняння, отримаємо значення a і b:

a = 45 b = 33

Підставимо ці значення в перше рівняння, щоб знайти c:

c = 90 - a c = 90 - 45 c = 45

Таким чином, сторони даного прямокутного трикутника дорівнюють: a = 45 см b = 33 см c = 45 см