Question

Решите уравнение x(x+1)(x+2)(x+3)=24, используя метод замены переменной.

Answer 1

Ответ:

y = x + 1. Тогда уравнение примет вид:

(y-1)y(y+1)(y+2) = 24

Далее, мы можем разложить число 24 на произведение двух чисел, например, 24 = 3 * 8. Заметим, что если мы выберем y = 2, то выражение на левой стороне уравнения будет равно 3 * 2 * 3 * 4 = 72, что больше, чем 24. Если же мы выберем y = 1, то получим выражение 0 * 1 * 2 * 3 = 0, которое не подходит.

Выберем y = 3:

(3-1)3(3+1)*(3+2) = 2 * 3 * 4 * 5 = 120

Чтобы получить значение x, мы должны вычесть 1 из y, т.е. x = y - 1. Таким образом, получаем:

x = 2

Answer 2

Для решения данного уравнения с помощью метода замены переменной, мы можем ввести новую переменную y = x + 1. Тогда уравнение примет вид:

(y-1)(y)(y+1)(y+2) = 24

Раскроем скобки:

(y^2 - 1)(y^2 + 2y) = 24

(y^4 + 2y^3 - y^2 - 2y) = 24

y^4 + 2y^3 - y^2 - 2y - 24 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно переменной y. Решим его:

y^4 + 2y^3 - y^2 - 2y - 24 = 0

Мы можем заметить, что y = 2 является одним из корней этого уравнения. Разделим уравнение на (y - 2):

(y - 2)(y^3 + 4y^2 + 7y + 12) = 0

Теперь мы имеем уравнение третьей степени:

y^3 + 4y^2 + 7y + 12 = 0

При помощи методов решения уравнений третьей степени (например, метода Ньютона или деления пополам), мы можем найти оставшиеся корни этого уравнения:

y ≈ -3.123, y ≈ -0.892, y ≈ 2

Теперь, используя исходную замену переменной y = x + 1, мы можем найти значения x:

x ≈ -4.123, x ≈ -1.892, x ≈ 1

Таким образом, решения исходного уравнения x(x+1)(x+2)(x+3) = 24 с использованием метода замены переменной равны x ≈ -4.123, x ≈ -1.892 и x ≈ 1.