Question

Составьте уравнение касательной к графику y= cos x в точке с абсциссой: а) х= -π/2; б)х=2π​

Answer 1

Уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $x_0$:

$y_k=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$

а)

$y=\cos x.\ x_0=-\dfrac{\pi }{2}$

$y(x_0)=\cos\left(-\dfrac{\pi }{2} \right)=\cos\dfrac{\pi }{2} =0$

$y'=-\sin x$

$y'(x_0)=-\sin\left(-\dfrac{\pi }{2} \right)=\sin\dfrac{\pi }{2} =1$

Составляем уравнение касательной:

$y_k=0+1\cdot\left(x-\left(-\dfrac{\pi }{2} \right)\right)$

$\boxed{y_k=x+\dfrac{\pi }{2} }$

б)

$y=\cos x.\ x_0=2\pi$

$y(x_0)=\cos2\pi =1$

$y'=-\sin x$

$y'(x_0)=-\sin2\pi =0$

Составляем уравнение касательной:

$y_k=1+0\cdot\left(x-2\pi \right)$

$\boxed{y_k=1}$

Answer 2

Чтобы составить уравнение касательной к графику функции y = cos(x) в заданной точке, мы должны найти производную функции и использовать ее значение в данной точке.

a) При х = -π/2: Производная функции cos(x) равна -sin(x). Подставим x = -π/2: dy/dx = -sin(-π/2) = -(-1) = 1.

Таким образом, угловой коэффициент касательной равен 1.

Чтобы найти точку на касательной, нам нужно знать ее абсциссу. Поскольку задана абсцисса x = -π/2, мы можем найти ординату (y-координату) путем подстановки этого значения в исходную функцию: y = cos(-π/2) = 0.

Теперь мы знаем, что касательная проходит через точку (-π/2, 0) с угловым коэффициентом 1. Используя формулу наклонной прямой (y - y1) = m(x - x1), где (x1, y1) - точка на касательной и m - угловой коэффициент, мы можем составить уравнение касательной:

(y - 0) = 1(x + π/2), y = x + π/2.

b) При х = 2π: Производная функции cos(x) равна -sin(x). Подставим x = 2π: dy/dx = -sin(2π) = 0.

Таким образом, угловой коэффициент касательной равен 0.

Абсцисса точки x = 2π уже задана. Чтобы найти ординату (y-координату) этой точки, мы можем подставить x = 2π в исходную функцию: y = cos(2π) = 1.

Теперь мы знаем, что касательная проходит через точку (2π, 1) с угловым коэффициентом 0. Уравнение горизонтальной линии имеет вид y = b, где b - значение ординаты точки на этой линии. В данном случае уравнение касательной будет иметь вид:

y = 1.