Question

Даю 20 баллов Розв’яжіть нерівність: 1) |x – 1|(x+ 3) ≥ 0 2) |x – 1|(x+ 3) ≤ 0

Answer 1

Розв'язуємо нерівність |x – 1|(x+ 3) ≥ 0:

Розділяємо випадки залежно від знаку виразу |x – 1|:

якщо x – 1 ≥ 0, тобто x ≥ 1, то |x – 1| = x – 1. Тоді нерівність стає (x – 1)(x+ 3) ≥ 0. Розв'язуємо її за допомогою методу інтервалів знакозмінності:

x | x – 1 | x + 3 | (x – 1)(x + 3)

-∞ - - +

1 0 4 0

3 2 6 +

+∞ + + +

Відповідь: x належить інтервалам (-∞, 1] і [-3, +∞).

якщо x – 1 < 0, тобто x < 1, то |x – 1| = -(x – 1) = 1 – x. Тоді нерівність стає (1 – x)(x+ 3) ≥ 0. Розв'язуємо її аналогічно попередньому випадку і отримуємо таку ж відповідь: x належить інтервалам (-∞, 1] і [-3, +∞).

Отже, розв'язок нерівності |x – 1|(x+ 3) ≥ 0: x належить інтервалам (-∞, 1] і [-3, +∞).

Розв'язуємо нерівність |x – 1|(x+ 3) ≤ 0:

Оскільки модуль може бути не менше нуля, то |x – 1| ≥ 0, а тому нерівність може бути виконана лише тоді, коли (x – 1)(x+ 3) = 0. Тобто x = 1 або x = -3.

Отже, розв'язок нерівності |x – 1|(x+ 3) ≤ 0: x = 1 або x = -3.

Answer 2

Дякую за ваше запитання! Розв'яжемо нерівності по одній.

1. |x – 1|(x + 3) ≥ 0: Ця нерівність буде виконуватися, якщо добуток належить інтервалу [0, +∞) або дорівнює нулю.

Перше, дослідимо добуток (x – 1)(x + 3): (x – 1)(x + 3) = x^2 + 3x - x - 3 = x^2 + 2x - 3.

Тепер розглянемо його знаки на різних інтервалах числової прямої:

1. Якщо x < -3, то x^2 + 2x - 3 > 0.
2. Якщо -3 < x < 1, то x^2 + 2x - 3 < 0.
3. Якщо x > 1, то x^2 + 2x - 3 > 0.

Таким чином, нерівність |x – 1|(x + 3) ≥ 0 виконується, коли x належить інтервалам (-∞, -3] та [1, +∞).

2. |x – 1|(x + 3) ≤ 0: Ця нерівність буде виконуватися, якщо добуток належить інтервалу (−∞, 0] або дорівнює нулю.

Аналогічно до попередньої нерівності, розглянемо знаки добутку (x – 1)(x + 3):

1. Якщо x < -3, то x^2 + 2x - 3 > 0.
2. Якщо -3 < x < 1, то x^2 + 2x - 3 < 0.
3. Якщо x > 1, то x^2 + 2x - 3 > 0.

Таким чином, нерівність |x – 1|(x + 3) ≤ 0 виконується лише при x = 1.

Остаточно, розв'язком нерівності |x – 1|(x + 3) ≥ 0 є x ∈ (-∞, -3] ∪ [1, +∞), а розв'язком нерівності |x – 1|(x + 3) ≤ 0 є x = 1.