Question

Помогите пожалуйста кто шарит. Найдите все значения параметра а, для каждого из которых уравнение a²-ax - 2x² - 0,5x - 2a + la + 2,5x| = 0 - имеет ровно три различных корня. В ответе укажите количество значений параметра а, удовлетворяющих условию задачи.​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Спочатку застосуємо формулу дискримінанту для знаходження кількості коренів рівняння:

D = b² - 4ac

Тут a = a² - a, b = -2x² - 0,5x + la + 2,5x, c = -2a + 2.

Після підстановки отримуємо:

D = (-2x² - 0.5x + la + 2.5x)² - 4(a² - a)(-2a + 2)

Simplifying the expression, we get:

D = (-2x² + (la + 2)x + 2a)² - 8a² + 8a

Щоб рівняння мало рівно три різні корені, дискримінант повинен бути додатнім і більшим за нуль:

D > 0

D = (-2x² + (la + 2)x + 2a)² - 8a² + 8a > 0

(-2x² + (la + 2)x + 2a)² > 8a² - 8a

(2x² - (la + 2)x - 2a)² < 8a - 8a²

2x² - (la + 2)x - 2a < 2√2(2 - a)

Тепер враховуючи те, що ми маємо мати рівно три різні корені, зрозуміло, що a не може дорівнювати 0, 1 або 2. Також, щоб відповідати умові, ми повинні мати три різні значення х для кожного значення а.

Далі, рівняння має мати три різні корені, тому дискримінант має бути більшим за нуль, тобто:

D = (-2x² + (la + 2)x + 2a)² - 8a² + 8a > 0

(-2x² + (la + 2)x + 2a)² > 8a² - 8a

(2x² - (la + 2)x - 2a)² < 8a - 8a²

2x² - (la + 2)x - 2a < 2√2(2 - a)

Тепер розглянемо різні значення а:

Якщо a = 0, 1 або 2, то відповідь відсутня.

Якщо a > 2, то права частина нерівності виходить за межі області визначення лівої частини, тому

Answer 2

Для уравнения $a^2 - ax - 2x^2 - 0.5x - 2a + la + 2.5x = 0$ чтобы имелось ровно три различных корня, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант этого уравнения был положительным, то есть $\Delta > 0$.

Дискриминант квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ равен $\Delta = b^2 - 4ac$. Применяя это к данному уравнению, получим:

$\Delta = (-a)^2 - 4(-2)(-2a + la + 2.5) = a^2 - 16a + 16l - 16$

Теперь нам нужно найти все значения параметра $a$, для которых $\Delta > 0$.

$a^2 - 16a + 16l - 16 > 0$

Для того чтобы найти значения $a$, удовлетворяющие этому неравенству, нужно проанализировать его график. Решив неравенство, получим интервалы значений параметра $a$, для которых неравенство выполняется.

$a^2 - 16a + 16l - 16 = 0$ $a^2 - 16a + (16l - 16) = 0$

Теперь мы можем применить условие на количество корней квадратного уравнения: если дискриминант $\Delta$ равен нулю, то уравнение имеет один корень, и если $\Delta$ больше нуля, то уравнение имеет два различных корня.

$\Delta = (-16)^2 - 4(16l - 16) = 256 - 64l + 64 = 320 - 64l$

Для того чтобы уравнение имело один корень, необходимо и достаточно, чтобы $\Delta = 0$:

$320 - 64l = 0$ $64l = 320$ $l = \frac{320}{64}$ $l = 5$

Таким образом, при $l = 5$ уравнение имеет один корень.

Для того чтобы уравнение имело два различных корня, необходимо и достаточно, чтобы $\Delta > 0$:

$320 - 64l > 0$ $64l < 320$ $l < 5$

Таким образом, для $l < 5$ уравнение имеет два различных корня.

Теперь мы можем рассмотреть график функции $a^2 - 16a + 16l - 16$ в зависимости от $l$:

\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Значение } l & \text{Ч