Question

15. Спростіть вираз √(1-2 sin a cos a) +√ (1 + 2 sin a cos a), якщо π/4<a<π/2​

Answer 1

Ответ:

Распишем подкоренные выражения как квадраты суммы и разности .

$\bf 1-2\, sina\cdot cosa=sin^2a+cos^2a-2\, sina\cdot cosa=(sina-cosa)^2\\\\ 1+2\, sina\cdot cosa=sin^2a+cos^2a+2\, sina\cdot cosa=(sina+cosa)^2$  

Тогда заданное выражение имеет вид

$\bf \sqrt{1-2\, sina\cdot cosa}+\sqrt{1+2\, sina\cdot cosa}=\sqrt{(sina-cosa)^2}+\sqrt{(sina+cosa)^2}=\\\\=|\, sina-cosa\, |+|\, sina+cosa\, |$

На интервале  $\bf \Big(\dfrac{\pi }{4}\ ;\ \dfrac{\pi }{2}\Big)$  значения функции  $\bf y=sinx$  больше

значений функции  $\bf y=cosx$  . Тогда  $\bf sina > cosa$  при  $\bf a\in \bf \Big(\dfrac{\pi }{4}\ ;\ \dfrac{\pi }{2}\Big)$   и

$\bf sina-cosa > 0\ \ \Rightarrow \ \ |\, sina-cosa\, |=sina-cosa\ ,\\\\sina+cosa > 0\ \ \Rightarrow \ \ |\, sina+cosa\, |=sina+cosa$ .

Окончательно получаем

$\bf \sqrt{1-2\, sina\cdot cosa}+\sqrt{1+2\, sina\cdot cosa}=|\, sina-cosa\, |+|\, sina+cosa\, |=\\\\=sina-cosa+sina+cosa=2\, sina$

Answer 2

Щоб спростити цей вираз, ми можемо скористатись формулою для подвійного кута синуса: sin(2a) = 2sin(a)cos(a).

Давайте перепишемо вираз з використанням цієї формули:

√(1 - 2sin(a)cos(a)) + √(1 + 2sin(a)cos(a))

Тепер замінимо 2sin(a)cos(a) на sin(2a):

√(1 - sin(2a)) + √(1 + sin(2a))

Цей вираз уже не можна спростити далі, оскільки sin(2a) не можна спростити для a в діапазоні π/4 < a < π/2. Таким чином, спрощення цього виразу буде:

√(1 - 2sin(a)cos(a)) + √(1 + 2sin(a)cos(a)) = √(1 - sin(2a)) + √(1 + sin(2a))