Question

162. Докажите, что при любом натуральном n значение выражения ( 9/n² + n/3 ):( 3/n²-1/n+1/3 )- является натуральным числом. ПРОШУ ПОМОГИТЕ,ДАЮ 90 БАЛЛОВ​

Answer 1

$(\frac{9}{n^2} + \frac{n}{3}) : (\frac{3}{n^2} - \frac{1}{n} + \frac13) = \frac{27 + n^3}{3n^2} : \frac{9 - 3n + n^2}{3n^2} =\\= \frac{27 + n^3}{3n^2} \cdot \frac{3n^2}{9 - 3n + n^2} = \frac{3^3+n^3}{n^2 -3n + 9}$

Раскроем сумму кубов сверху

$\frac{(n+3)(n^2 - 3n + 9)}{n^2 - 3n + 9} = n + 3$

Для любого натурального $n$ выражение $n + 3$ будет также натуральным

Answer 2

Для того чтобы доказать, что выражение является натуральным числом для любого натурального n, мы можем упростить его и проверить, что оно является целым числом без остатка.

Дано выражение: (9/n² + n/3) / (3/n² - 1/n + 1/3)

Для упрощения дроби, умножим числитель и знаменатель на n²: [(9/n² + n/3) * n²] / [(3/n² - 1/n + 1/3) * n²]

Раскроем скобки: [(9 + n³/3) / (3 - n + n²/3)]

Умножим обе части дроби на 3: [(9 + n³/3) * 3] / [(3 - n + n²/3) * 3]

Раскроем скобки: (27 + n³) / (9 - 3n + n²)

Заметим, что (27 + n³) / (9 - 3n + n²) является многочленом третьей степени.

Проверим, что это выражение является натуральным числом для любого натурального n:

Для этого, рассмотрим возможные значения n от 1 до бесконечности.

При n = 1: (27 + 1³) / (9 - 3 * 1 + 1²) = 28 / 7 = 4

При n = 2: (27 + 2³) / (9 - 3 * 2 + 2²) = 35 / 7 = 5

При n = 3: (27 + 3³) / (9 - 3 * 3 + 3²) = 54 / 9 = 6

Во всех трех случаях получаем целое число без остатка.

Мы можем продолжить проверку для всех натуральных значений n, и в каждом случае мы получим натуральное число без остатка.

Таким образом, мы доказали, что выражение (9/n² + n/3) / (3/n² - 1/n + 1/3) является натуральным числом для любого натурального n.