Question

Найти решения уравнений, удовлетворяющие условиям (x-y)dx+xdy=0 , если y=0 при x=1

Answer 1

$(x-y)dx+xdy=0$

$(x-y)+x\cdot\dfrac{dy}{dx} =0$

$x-y+xy'=0$

$1-\dfrac{y}{x} +y'=0$

$y'-\dfrac{1}{x}\cdot y=-1$

Замена. Решение ищем в виде произведения двух ненулевых функций:

$y=uv$

$y'=u'v+uv'$

Получаем уравнение:

$u'v+uv'-\dfrac{1}{x}\cdot uv=-1$

Предположим, что сумма первого и третьего слагаемого равна нулю:

$u'v-\dfrac{1}{x}\cdot uv=0$

$u'-\dfrac{1}{x}\cdot u=0$

$\dfrac{du}{dx} =\dfrac{u}{x}$

$\dfrac{du}{u} =\dfrac{dx}{x}$

$\int\dfrac{du}{u} =\int\dfrac{dx}{x}$

$\ln |u| = \ln |x|$

$u=x$

Тогда второе слагаемое равно правой части:

$uv'=-1$

$xv'=-1$

$x\cdot\dfrac{dv}{dx} =-1$

$dv =-\dfrac{dx}{x}$

$\int dv =-\int \dfrac{dx}{x}$

$v =-\ln |x|+\ln C$

$v =\ln \dfrac{C}{x}$

Тогда решение:

$y=uv=x\ln \dfrac{C}{x}$

Найдем частное решение. Подставим в общее уравнение условия y=0, x=1:

$0=1\cdot\ln \dfrac{C}{1}$

$0=\ln C$

$C=1$

Частное решение имеет вид:

$y=x\ln \dfrac{1}{x}$

$y=-x\ln x$

Answer 2

Для решения данного уравнения с условием можно использовать метод разделяющихся переменных. Вначале выразим y в виде функции от x, а затем проинтегрируем уравнение.

Условие y=0 при x=1 означает, что точка (1, 0) лежит на искомой кривой.

Выразим y в виде функции от x, путем разделения переменных:

(x - y)dx + xdy = 0 (x dx - y dx) + x dy = 0 x dx - y dx + x dy = 0 x dx + x dy = y dx x(dx + dy) = y dx (dx + dy) / dx = y / x

Теперь проинтегрируем это уравнение:

∫(dx + dy) / dx = ∫(y / x) dx ∫(1 + dy / dx) = ∫(y / x) dx x + y = ∫(y / x) dx

Для упрощения интеграла заменим y / x на u:

x + y = ∫u dx

Теперь проинтегрируем это уравнение:

∫(x + y) dx = ∫u dx ∫x dx + ∫y dx = ∫u dx (1/2)x^2 + yx = ∫u dx + C

Где C - произвольная постоянная интегрирования.

Теперь воспользуемся условием y = 0 при x = 1, чтобы найти значение C:

(1/2)(1)^2 + 0(1) = ∫u(1) d(1) + C 1/2 + 0 = u(1) + C 1/2 = u(1) + C

Поскольку y = 0 при x = 1, то (1, 0) должна удовлетворять уравнению, что означает, что u(1) = 0:

1/2 = 0 + C C = 1/2

Теперь мы можем записать окончательное решение уравнения:

(1/2)x^2 + yx = ∫u dx + C (1/2)x^2 + yx = ∫(y / x) dx + 1/2

Это уравнение представляет собой общее решение данного дифференциального уравнения, удовлетворяющее условию y = 0 при x = 1.