Question

График функции y=-0,5x^2+2x; x∈[-1;3] Найдите точки, опишите свойства, постройте график 1)Область определения 2)Область значения 3)На каких промежутках возрастает и убывает 4)Четная или нечетная

Answer 1

$y = - \frac{1}{2} {x}^{2} + 2x$

ОБласть определения: x принадлежит R, то есть от минус беск. до плюс беск.

Область значений.

график функции - парабола. ветви направлены вниз, так как перед х^2 стоит минус. вершина параболы найдем по формуле

$x = \frac{ - b}{2a} = \frac{ - 2}{2 \times ( \frac{ - 1}{2}) } = 2$

тогда область значений [2; -бесконечность)

Возрастание и убывание.

найдем производную и приравняем к нулю, она равна

$y = - x + 2 = 0$

найдем корень уравнения, это и есть экстремум.

x=2.

производная. тогда

(-беск; 2) - возрастает

(2; беск) убывает

четность или нечетность

$f ( - x) = - \frac{1}{2} ( { - x})^{2} + 2( - x) = \\ = - \frac{1}{2} {x}^{2} - 2x$

следовательно функция не четная и не нечетная

Answer 2

Давайте посмотрим на график функции y = -0.5x^2 + 2x, где x принадлежит интервалу [-1, 3].

1. Область определения: Область определения функции - это множество всех возможных значений x, для которых функция определена. В данном случае, функция определена для любых значений x в интервале [-1, 3].

2. Область значений: Область значений функции - это множество всех возможных значений y, которые функция может принимать. Чтобы найти область значений, мы можем проанализировать вершину параболы.

Функция y = -0.5x^2 + 2x имеет параболическую форму, где коэффициент при x^2 отрицателен (-0.5). Значит, парабола будет направлена вниз. Чтобы найти вершину параболы, мы можем воспользоваться формулой x = -b / (2a), где a и b - коэффициенты при x^2 и x соответственно.

В данном случае, a = -0.5, b = 2. Подставляя значения в формулу, получаем: x = -2 / (2 * (-0.5)) = -2 / (-1) = 2

Теперь, чтобы найти значение y в этой точке, подставим x = 2 в исходную функцию: y = -0.5 * (2)^2 + 2 * (2) = -0.5 * 4 + 4 = -2 + 4 = 2

Таким образом, вершина параболы находится в точке (2, 2). Значит, область значений функции состоит из всех значений y, которые могут быть больше или равными 2.

3. Возрастание и убывание: Чтобы определить интервалы возрастания и убывания функции, нам нужно проанализировать знак её производной. Возьмем производную функции y = -0.5x^2 + 2x и найдем её:

y' = (-0.5 * 2x) + 2 = -x + 2

Затем, приравняем производную к нулю и найдем её корень:

-x + 2 = 0 x = 2

Таким образом, производная равна нулю при x = 2.

Теперь мы можем построить таблицу знаков:

интервал	-∞	2	+∞
y' = -x+2	-	0	+
y