Question

На пути движения автомашины 4 светофора, каждый из которых запрещает дальнейшее движение автомашины с вероятностью 0,5. Найти ряд распределения числа светофоров, пройденных машиной до первой остановки. Чему равна дисперсия этой случайной величины?

Answer 1

Ответ:

≈1,434

Объяснение:

X - дискретная случайная величина.

Вероятность того, что машина попала на запрещающий сигнал 1-го светофора:

P(X=0)=(1-0,5)=0,5

Вероятность того, что машина попала на запрещающий сигнал 2-го светофора, проехав на 1-м светофоре:

P(X=1)=0,5(1-0,5)=0,5·0,5=0,25

Вероятность того, что машина попала на запрещающий сигнал 3-го светофора, проехав при этом на первых двух светофорах:

P(X=2)=0,5·0,5(1-0,5)=0,25 ·0,5=0,125

Вероятность того, что машина попала на запрещающий сигнал 3-го светофора, проехав при этом на первых трёх светофорах:

P(X=3)=0,5·0,5·0,5(1-0,5)=0,125 ·0,5=0,0625

Вероятность того, что машина проехала все четыре светофора:

P(X=4)=0,5 ·0,5 ·0,5 ·0,5=0,0625

Теперь можем показать вид закона распределения X:

x(i)          0          1          2          3          4

p(i)        0,5      0,25   0,125  0,0625  0,0625

Проверим:

Σp(i)=0,5+0,25+0,125+0,0625+0,0625=1

Дисперсия:

D(X)=Σ(x(i))²p(i) -(Σx(i)p(i))²=0²·0,5+1²·0,25+2²·0,125+3²·0,0625+4²·0,0625-(0·0,5+1·0,25+2·0,125+3·0,0625+4·0,0625)²=0,25+0,5+0,5625+1-(0,25+0,25+0,1875+0,25)²=2,3125-0,9375²≈1,434

Answer 2

Дано:

• Количество светофоров: 4
• Вероятность остановки на каждом светофоре: 0,5

Найдем распределение числа светофоров, пройденных машиной до первой остановки. Пусть X - случайная величина, обозначающая число светофоров, пройденных до первой остановки.

Так как каждый светофор независимо от других запрещает движение с вероятностью 0,5, то вероятность пройти каждый светофор без остановки равна 0,5, а вероятность остановиться на каждом светофоре также равна 0,5.

Таким образом, распределение X будет биномиальным распределением с параметрами n = 4 и p = 0,5. Обозначим это как X ~ B(4, 0,5).

Чтобы найти вероятности для каждого значения X, мы можем воспользоваться формулой биномиального распределения:

P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k)

Где C(n, k) - число сочетаний из n элементов по k.

Таким образом, распределение X будет:

P(X = 0) = C(4, 0) * (0,5)^0 * (1 - 0,5)^(4 - 0) = 1 * 1 * 0,0625 = 0,0625 P(X = 1) = C(4, 1) * (0,5)^1 * (1 - 0,5)^(4 - 1) = 4 * 0,5 * 0,125 = 0,25 P(X = 2) = C(4, 2) * (0,5)^2 * (1 - 0,5)^(4 - 2) = 6 * 0,25 * 0,25 = 0,375 P(X = 3) = C(4, 3) * (0,5)^3 * (1 - 0,5)^(4 - 3) = 4 * 0,125 * 0,5 = 0,25 P(X = 4) = C(4, 4) * (0,5)^4 * (1 - 0,5)^(4 - 4) = 1 * 0,0625 * 1 = 0,0625

Таким образом, ряд распределения числа светофоров, пройденных машиной до первой остановки, будет:

P(X = 0) = 0,0625 P(X = 1) = 0,25 P(X = 2) = 0,375 P(X = 3) = 0,25 P(X = 4) = 0,0625

Для вычисления дисперсии этой случайной величины, воспользу