Question

(9 класс) 2. Упростить: (tg3˚ tg57˚ tg63˚)(tg17˚ tg43˚ tg73˚)(tg23˚ tg37˚ tg83˚)

Answer 1

$\Big(tg3\textdegree~tg57\textdegree~tg63\textdegree \Big)\Big(tg17\textdegree~tg43\textdegree~tg73\textdegree \Big)\Big(tg23\textdegree~tg37\textdegree~tg83\textdegree \Big)=\\=\Big(tg17\textdegree~tg43\textdegree~tg\big(90\textdegree-17\textdegree\big)\Big) \Big(tg3\textdegree~tg\big(60\textdegree-3\textdegree\big) ~tg\big(60\textdegree+3\textdegree\big)\Big)\times$

$~~~~~~~~~~~~~~~~\times \Big(tg23\textdegree~tg\big(60\textdegree-23\textdegree\big) ~tg\big(60\textdegree+23\textdegree\big)\Big)=\\=\Big(\underbrace{tg17\textdegree~ctg17\textdegree}_{=1}~tg43\textdegree\Big) \Big(tg3\textdegree~\cdot \dfrac{tg60\textdegree-tg3\textdegree}{1+tg60\textdegree\cdot tg3\textdegree}\cdot \dfrac{tg60\textdegree+tg3\textdegree}{1-tg60\textdegree\cdot tg3\textdegree}\Big)\times$

$></p> <p><img src=$

Здесь можно закончить. Если продолжить дальше :

$tg43\textdegree\cdot tg9\textdegree\cdot tg\big(60\textdegree+9\textdegree\big)=tg43\textdegree\cdot tg9\textdegree\cdot \dfrac {tg60\textdegree+tg9\textdegree}{1-tg60\textdegree\cdot tg9\textdegree}=$

$=tg43\textdegree\cdot tg9\textdegree\cdot \dfrac {\sqrt3+tg9\textdegree}{1-\sqrt3\cdot tg9\textdegree}=\\=tg43\textdegree\cdot tg9\textdegree\cdot \dfrac {\big(\sqrt3+tg9\textdegree\big)\big(\sqrt3-tg9\textdegree\big)\big(1+\sqrt3\cdot tg9\textdegree\big)}{\big(1-\sqrt3\cdot tg9\textdegree\big)\big(1+\sqrt3\cdot tg9\textdegree\big)\big(\sqrt3-tg9\textdegree\big)}=$

$=tg43\textdegree\cdot tg9\textdegree\cdot \dfrac {\big(3-tg^29\textdegree\big)\big(1+\sqrt3\cdot tg9\textdegree\big)}{\big(1-3tg^29\textdegree\big)\big(\sqrt3-tg9\textdegree\big)}=\\=tg43\textdegree\cdot \dfrac {3tg9\textdegree-tg^39\textdegree}{1-3tg^29\textdegree}\cdot \dfrac {1+\sqrt3\cdot tg9\textdegree}{\sqrt3-tg9\textdegree}=$$=tg43\textdegree\cdot tg\big(3\cdot 9\textdegree\big)\cdot \dfrac {1+\sqrt3\cdot tg9\textdegree}{\sqrt3-tg9\textdegree}=tg43\textdegree\cdot tg27\textdegree\cdot \dfrac {1+\sqrt3\cdot tg9\textdegree}{\sqrt3-tg9\textdegree}$

============================================

Использованы формулы

$tg\big(\alpha +\beta \big)=\dfrac {tg\alpha +tg\beta }{1-tg\alpha \cdot tg\beta}\\\\tg\big(\alpha -\beta \big)=\dfrac {tg\alpha -tg\beta }{1+tg\alpha \cdot tg\beta}\\\\tg\big(3\alpha \big)=\dfrac{3tg\alpha -tg^3\alpha }{1-3tg^2\alpha }$

Answer 2

Для упрощения данного выражения, мы можем использовать тригонометрическую формулу умножения тангенсов:

tg(A + B + C) = (tgA + tgB + tgC - tgA * tgB * tgC) / (1 - tgA * tgB - tgA * tgC - tgB * tgC).

Применяя эту формулу к данному выражению, мы можем упростить его:

(tg3˚ tg57˚ tg63˚)(tg17˚ tg43˚ tg73˚)(tg23˚ tg37˚ tg83˚) =

= (tg3˚ + tg57˚ + tg63˚ - tg3˚ * tg57˚ * tg63˚) / (1 - tg3˚ * tg57˚ - tg3˚ * tg63˚ - tg57˚ * tg63˚) * (tg17˚ + tg43˚ + tg73˚ - tg17˚ * tg43˚ * tg73˚) / (1 - tg17˚ * tg43˚ - tg17˚ * tg73˚ - tg43˚ * tg73˚) * (tg23˚ + tg37˚ + tg83˚ - tg23˚ * tg37˚ * tg83˚) / (1 - tg23˚ * tg37˚ - tg23˚ * tg83˚ - tg37˚ * tg83˚).

Теперь, если вам требуется численное значение этого выражения, вам нужно будет подставить конкретные значения для тангенсов углов и вычислить результат.