Question

Log x+1(2x-5)+ log 2x-5(x+1) меньше или равно 2

Answer 1

log(2x-5)(x+1)=1/(log(x+1)(2x-5)

ОДЗ; 2x-5>0; x>2.5

x+1>0; x>-1

x+1≠1; x≠0

2x-5≠1; x≠3

Общее ОДЗ: x=(2.5;3)U(3;+∞)

теперь к неравенству, обозначу log(x+1)(2x-5)=t

t+1/t≤2

(t^2-2t+1)/t=(t-1)^2/t<=0

рассмотрим два случая

а)так как числитель положителен, то t<0

log(x+1)(2x-5)<0

т.к по одз x>2.5, основание логарифма >1

2x-5<(x+1)^0

2x-5<1

2x<6

x<3

2)когда числитель дроби равен 0, t-1=0;t=1

log(x+1)(2x-5)=t=1

2x-5=(x+1)^1

2x-5=x+1

x=6

Учитывая одз общий ответ x=(2.5;3)U{6}

Answer 2

Давайте разберем это выражение шаг за шагом.

Имеем: log(x + 1)(2x - 5) + log(2x - 5)(x + 1) ≤ 2

Мы можем использовать свойство логарифмов, которое гласит, что логарифм произведения равен сумме логарифмов. Также мы можем применить свойство логарифма с основанием a, где a^b = c, чтобы избавиться от логарифма. Используя эти свойства, преобразуем выражение:

log[(x + 1)(2x - 5)(2x - 5)(x + 1)] ≤ 2

Теперь применим свойство эквивалентности логарифма и степени, чтобы избавиться от логарифма:

(x + 1)(2x - 5)(2x - 5)(x + 1) ≤ 10^2

Раскроем скобки:

(x^2 + 3x + 1)(4x^2 - 18x + 25) ≤ 100

Распространим умножение:

4x^4 - 18x^3 + 25x^2 + 12x^3 - 54x^2 + 75x + 4x^2 - 18x + 25 ≤ 100

Сгруппируем подобные члены:

4x^4 - 6x^3 - 27x^2 + 57x + 25 ≤ 100

Перенесем все члены в одну сторону:

4x^4 - 6x^3 - 27x^2 + 57x - 75 ≤ 0

Как видим, это уравнение является полиномом четвертой степени. Чтобы решить это уравнение и определить, когда оно меньше или равно 0, требуется дальнейший алгебраический анализ. Это может быть сделано с использованием графиков или численных методов.