Question

Cos^6+sin^6 упростить

Answer 1

$1)\; \; cos^6x+sin^6x=(cos^2x)^3+(sin^2x)^3=\\\\=(\underbrace {cos^2x+sin^2x}_{1})\cdot (cos^4x-cos^2x\cdot sin^2x+sin^4x)=\\\\=\Big ((cos^2x)^2-2cos^2x\cdot sin^2x+(sin^2x)^2\Big )+cos^2x\cdot sin^2x=\\\\=(\underbrace {cos^2x-sin^2x}_{cos2x})^2+(\underbrace {sinx\cdot cosx}_{\frac{1}{2}sin2x})^2=cos^22x+\frac{1}{4}sin^22x\\\\\\2)cos^6x+sin^6x=cos^4x-cos^2x\cdot sin^2x+sin^4x=\\\\=\Big ((cos^2x)^2+2cos^2x\cdot sin^2x+(sin^2x)^2\Big )-3\, cos^2x\cdot sin^2x=$

$=(\underbrace {cos^2x+sin^2x}_{1})^2-3(\underbrace {sinx\cdot cosx}_{\frac{1}{2}sin2x})^2=1-\frac{3}{4}\cdot sin^22x\\\\\\\star \; \; 2\, sinx\cdot cosx=sin2x\; \; \Rightarrow \; \; sinx\cdot cosx=\frac{1}{2}sin2x\; \; \star$

Answer 2

(sin^2a+cos^2a)(sin^4a-sin^2a*cos^2a+cos^4a)=(sin^2a+cos^2a)^2-3*sin^2a*cos^2a=

1-3*(4*sin^2a*cos^2a)/4=1-(3/4)*(sin 2a)^2

Answer 3

Для упрощения выражения cos^6(x) + sin^6(x) можно использовать тригонометрическую формулу сокращенного умножения:

cos^6(x) + sin^6(x) = (cos^2(x))^3 + (sin^2(x))^3

Затем применим формулу сокращенного умножения для cos^2(x) и sin^2(x):

(cos^2(x))^3 + (sin^2(x))^3 = (cos^2(x) + sin^2(x))((cos^2(x))^2 - cos^2(x)sin^2(x) + (sin^2(x))^2)

Используем тождество cos^2(x) + sin^2(x) = 1:

(cos^2(x) + sin^2(x))((cos^2(x))^2 - cos^2(x)sin^2(x) + (sin^2(x))^2) = 1((cos^2(x))^2 - cos^2(x)sin^2(x) + (sin^2(x))^2)

Теперь заменим sin^2(x) на 1 - cos^2(x):

1((cos^2(x))^2 - cos^2(x)(1 - cos^2(x)) + (1 - cos^2(x))^2) = (cos^2(x))^2 - cos^2(x)(1 - cos^2(x)) + (1 - cos^2(x))^2

Раскроем скобки:

(cos^2(x))^2 - cos^2(x)(1 - cos^2(x)) + (1 - cos^2(x))^2 = (cos^2(x))^2 - cos^2(x) + cos^4(x) + 1 - 2cos^2(x) + cos^4(x)

Сгруппируем члены:

(cos^2(x))^2 - cos^2(x) + cos^4(x) + 1 - 2cos^2(x) + cos^4(x) = 2(cos^4(x)) - 2(cos^2(x)) + 1

Таким образом, упрощенное выражение cos^6(x) + sin^6(x) равно 2(cos^4(x)) - 2(cos^2(x)) + 1.