Question

Дана функция y=1/2x^2-2x-6 постройте ее график, найдите а) все значения, при которых функция принимает положительные значения; б) найдите промежутки убывания 30 баллов

Answer 1

У=0,5х²-2х-6
построим её
для начала найдем
нули функции
0,5х²-2х-6=0
х²-4х-12=0
(х-6)(х+2)=0
$х_1=6 \\ х_2=-2$

в этих точках функция пересекает ось ОХ

абсцисса вершины параболы будет в т.
$x_B= - \frac{b}{2a} = - \frac{ - 2}{2 \times 0.5} = 2$

при этом ордината вершины
$y_B = y(x_B) = \\ = 0.5 \times (2) ^{2} - 2 \times 2 - 6 = - 8$
вершина в точке (2,-8)


найдем у(0)= - 6 точка пересечения с осью ординат


теперь ответим на вопросы
функция принимает положительные значения, когда её график над осью
абсцисс
то есть при
x€(-∞;-2)v(6;+∞)

функция убывает при х€(-∞; 2]

Answer 2

Для построения графика функции y = (1/2)x^2 - 2x - 6, мы можем использовать информацию о форме параболы. В этой функции коэффициент при x^2 положительный (1/2), что означает, что парабола будет направлена вверх. Также у нас есть значения коэффициента при x (-2) и свободного члена (-6), которые определяют положение параболы на графике.

Для начала, найдем вершину параболы, используя формулу x = -b / (2a). В данном случае a = 1/2 и b = -2. Подставим эти значения:

x = -(-2) / (2 * 1/2) = 2 / 1 = 2

Теперь, чтобы найти значение y в вершине параболы, мы подставим найденное значение x обратно в исходную функцию:

y = (1/2)(2)^2 - 2(2) - 6 = 1/2 * 4 - 4 - 6 = 2 - 4 - 6 = -8

Таким образом, вершина параболы имеет координаты (2, -8).

Теперь мы можем построить график, используя эту информацию:

Теперь перейдем к пунктам а) и б):

а) Значения, при которых функция принимает положительные значения, будут находиться выше оси x на графике. Из графика видно, что это происходит на двух интервалах: (-бесконечность, 2) и (4, +бесконечность). Таким образом, функция принимает положительные значения при x < 2 и x > 4.

б) Промежутки убывания функции на графике можно определить, выяснив, где функция имеет отрицательный наклон. Из графика видно, что функция убывает на интервале (2, 4).