Question

Исследовать функцию и построить её график y=x^3-4x

Answer 1

Вот решение, надеюсь, вторую производную вам не надо использовать. Если надо - напишите.

Answer 2

Для исследования функции y = x^3 - 4x сначала рассмотрим её основные свойства, а затем построим график.

1. Область определения: Функция y = x^3 - 4x определена для любого вещественного числа x.

2. Нули функции: Чтобы найти нули функции, решим уравнение x^3 - 4x = 0: x(x^2 - 4) = 0 x(x - 2)(x + 2) = 0 Таким образом, нулями функции являются x = 0, x = 2 и x = -2.

3. Знак функции: Рассмотрим интервалы между нулями функции: a) Когда x < -2: Подставим x = -3 в уравнение: (-3)^3 - 4(-3) = -27 + 12 = -15 Функция отрицательна на этом интервале. b) Когда -2 < x < 0: Подставим x = -1 в уравнение: (-1)^3 - 4(-1) = -1 + 4 = 3 Функция положительна на этом интервале. c) Когда 0 < x < 2: Подставим x = 1 в уравнение: 1^3 - 4(1) = 1 - 4 = -3 Функция отрицательна на этом интервале. d) Когда x > 2: Подставим x = 3 в уравнение: 3^3 - 4(3) = 27 - 12 = 15 Функция положительна на этом интервале.

   Мы получили следующие знаки функции в интервалах: x < -2: отрицательная -2 < x < 0: положительная 0 < x < 2: отрицательная x > 2: положительная

4. Экстремумы функции: Чтобы найти экстремумы, найдем производную функции и приравняем ее к нулю: y = x^3 - 4x y' = 3x^2 - 4

   3x^2 - 4 = 0 3x^2 = 4 x^2 = 4/3 x = ±√(4/3)

   Таким образом, есть две точки экстремума: x = √(4/3) и x = -√(4/3). Чтобы определить их тип (минимум или максимум), проанализируем знаки второй производной.

   y'' = 6x Подставим x = √(4/3) в y