Question

Почему косинус это абсцисса, а синус - ордината?Как это можно объяснить максимально понятно?

Answer 1

Построим единичную окружность от начала координат, то есть радиус будет равен единице, и любой радиус-вектор соответственно. Построим треугольник, такой, что его гипотенуза - радиус. один из катетов лежит на оси абсцисс, а другой параллелен оси ординат. Тогда длина противолежащего катета равна координате y точки окружности, находящейся на радиусе, а длина прилежащего - координате x . Угол между гипотенузой и осью абсцисс обозначим за α. Как известно, синусом называется отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинусом называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Как уже было сказано, противолежащий катет равен y, а прилежащий равен x. Тогда sinα = y/1 (гипотенуза равна единице) = y, а cosα = x/1 = x. чтд

Очевидно, что если радиус - любое число, кроме единицы - равенства не будет.

Другой способ, менее правильный. Известная формула расстояния между двумя точками:

d = $\sqrt{(x_{1} - x_{2})^2 + (y_{1} - y_{2})^2}$

где x1, y1 - соответствующие координаты первой точки, x2,y2 - координаты второй точки.

На самом деле, это всего лишь теорема Пифагора, здесь d - гипотенуза прямоугольного треугольника, а если вычесть из кооординаты начала (x1 или y1) координату конца (x2 или y2), получится длина катета. Квадрат суммы длин катетов равен квадрату длины гипотенузы. Это работает для любых двух точек. Но синус и косинус равны координатам точки только на единичной окружности.

Если одна из точек будет лежать на краю окружности, а вторая будет началом координат, то x2 = y2 = 0, и тогда формула будет иметь другой вид:

d = $\sqrt{(x_{1})^2 + (y_{1})^2}$

Нетрудно догадаться, что расстояние от центра окружности до ее края называется радиусом. В данном случае радиус равен 1, поэтому:

1 = $\sqrt{(x_{1})^2 + (y_{1})^2}$

Это уравнение можно возвести в квадрат, так как обе его части неотрицательны:

1 = $(x_{1})^2 + (y_{1})^2$

Здесь, очевидно, спряталось основное тригонометрическое тождество. 1 = $(sin\alpha)^2 + (cos\alpha)^2$

То есть sinα = x, cosα = y.

Один момент - от перемены мест слагаемых сумма не меняется. Дело в том, что если поменять синус и косинус местами (то есть sinα = y, cosα = x), то α будет углом не между осью x и гипотенузой, а между осью y и гипотенузой. Пусть он равен β. В сумме с α он дает 90 градусов:

α + β = 90, откуда α = 90 - β.

Здесь применяется формула приведения:

cos(90 - β) = sinβ

sin(90 - β) = cosβ

чтд

Answer 2

Синус и косинус - это две тригонометрические функции, которые используются для описания соотношений между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике. Их связь с абсциссой и ординатой связана с определением этих функций на плоскости.

Представьте себе плоскость с осями x и y. Ось x называется абсциссой, а ось y - ординатой. Точка на плоскости задается координатами (x, y), где x - это значение по абсциссе, а y - значение по ординате.

Теперь давайте рассмотрим окружность радиусом 1, центр которой находится в начале координат (0, 0). Представьте, что вы находитесь на этой окружности и двигаетесь по ней в положительном направлении против часовой стрелки. Когда вы достигаете некоторой точки на окружности, проектируйте вертикальную линию из этой точки на ось x (абсциссу) и горизонтальную линию на ось y (ординату). Затем давайте обозначим эти проекции как x' и y'.

Тогда x' будет являться косинусом угла между лучом, идущим из начала координат до точки на окружности, и положительным направлением оси x (абсциссы). Иначе говоря, x' - это горизонтальное расстояние от начала координат до этой точки на окружности.

Аналогично, y' будет являться синусом угла между лучом и положительным направлением оси y (ординаты). Иначе говоря, y' - это вертикальное расстояние от начала координат до этой точки на окружности.

Таким образом, косинус соответствует абсциссе, потому что он определяет горизонтальное расстояние, а синус соответствует ординате, потому что он определяет вертикальное расстояние.