Question

Cos2x-Sin(p/2-x)+1=0 на интервале [5p/2;4p]

Answer 1

Так как cos 2x=2 cos^2 x -1; sin(pi/2 -x) = cosx;⇒
2 cos^2 x - 1 + cos x +1 =0;
2 cos^2 x + cos x =0;
c0s x( 2 cos x +1)=0;
cos x=0;⇒ [=pi/2 + pi*n; n∈Z;
2cosx +1 =0; cos x =-1/2;   x= + - 2pi/3 + 2pik; k∈Z.
Оба ответа в бланк в части а)
б) х= 5pi/2;
x= 8pi/3; x=10pi/3; x=7pi/2

Answer 2

Давайте решим уравнение на заданном интервале [5π/2; 4π].

Уравнение: cos(2x) - sin(π/2 - x) + 1 = 0

Для начала, преобразуем уравнение, чтобы упростить его выражение:

cos(2x) - cos(π/2 - x) + 1 = 0

Теперь воспользуемся формулой для разности косинусов:

2sin(x + (π/2 - x)/2)sin((π/2 - x)/2) + 1 = 0

Так как (π/2 - x) лежит в интервале [5π/2; 4π], то (π/2 - x)/2 будет лежать в интервале [5π/4; 2π]. Значит, sin((π/2 - x)/2) будет положительным на этом интервале.

Теперь можно упростить уравнение:

2sin(x + (π/2 - x)/2)sin((π/2 - x)/2) = -1

sin(x + (π/2 - x)/2) = -1/2

Для нахождения решений воспользуемся тригонометрической формулой:

sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)

sin(x + (π/2 - x)/2) = sin(x)cos((π/2 - x)/2) + cos(x)sin((π/2 - x)/2)

sin(x + (π/2 - x)/2) = sin(x)cos(π/4 - x/2) + cos(x)sin(π/4 - x/2)

sin(x + (π/2 - x)/2) = (sin(x) + cos(x))/√2

Теперь подставим это обратно в уравнение:

(sin(x) + cos(x))/√2 = -1/2

sin(x) + cos(x) = -√2/2

Теперь, чтобы решить уравнение, воспользуемся графиком функции sin(x) + cos(x):

markdownCopy code
   | 
 1 |       o
   |     /
   |   /
   | o
   |/
   |__________

На интервале [5π/2; 4π] функция sin(x) + cos(x) находится ниже оси x, значит, она отрицательна на этом интервале. Отметим точки пересечения функции с горизонтальной линией y = -√2/2.

markdownCopy code
   | 
 1 |       o
   |     / |
   |   /   |
   | o     |
   |/______|__

Одна точка пересечения находится в первом квадранте, а другая - в четвертом квадранте. Из графика видно, что на интервале [5π/2; 4π] уравнение sin(x) + cos(x) =