Question

Помогите, пожалуйста, решить систему уравнений: x^2 + y^2 = 10 { xy = 3

Answer 1

x²+y²=10  x²+(3/x)²=10  x²+9/x²=10   x⁴+9=10x²   x⁴-10x²+9=0  
xy=3         y=3/x
x²=t>0
t²-10t+9=0   D=64
t₁=9   x²=9        x₁=3   y₁=1   x₂=-3    y=-1
t₂=1   x²=1        x₃=1   y₃=3   x₄=-1    y₄=-3

Answer 2

Из второго уравнения получаем, что y = 3/x. Подставим это выражение в первое уравнение:

x^2 + (3/x)^2 = 10

Упрощаем:

x^4 - 10x^2 + 9 = 0

Решаем это уравнение как квадратное относительно x^2:

D = 100 - 4*9 = 64

x^2 = (10 ± 8)/2 = 9 или x^2 = 1

Если x^2 = 9, то x = ±3. Подставляем каждое значение x в любое из двух исходных уравнений, например, в уравнение xy = 3:

3y = 3 или -3y = 3

y = 1 или y = -1

Таким образом, первая пара решений (x, y) равна (3, 1) или (-3, -1).

Если x^2 = 1, то x = ±1. Подставляем каждое значение x в любое из двух исходных уравнений, например, в уравнение xy = 3:

y = 3 или y = -3

Таким образом, вторая пара решений (x, y) равна (1, 3) или (-1, -3).

Итак, система имеет четыре решения: (3, 1), (-3, -1), (1, 3) и (-1, -3).