Question

Помогите! Очень срочно!!     (1-cos 2x)ctg x=sin x   корень из tg x=корень из 2sinx  

Answer 1

(1-cos2x)ctgx=sinx

2sin^2xctgx=sinx

(2sin^2xcosx)/sinx=sinx

2sinxcosx-sinx=0

sinx(2cosx-1)=0

Совокупность:(1) sinx=0 => x=пn, n принадлежит целым числам

                 (2) 2cosx-1=0 => 2cosx=1 => cosx=1/2 =>

                           x= плюс минус arccos1/2 + 2пn =>

                       => x= плюс минус п/3 + 2пn, n принадлежит целым числам

Ответ: пn;плюс минус п/3+2пn, n принадлежит целым числам.

 

корень из tgx=корень из 2sinx (возводим в квадрат обе части)

tgx=2sinx

sinx/cosx - 2sinx=0

(sinx-2sinxcosx)/cosx=0 |умножить уравнение на cosx неравен 0=> x неравен п/2 +пn, n принадлежит цел.числам

sinx(1-2cosx)=0

Совокупность: (1) sinx=0 => x=пn, n принадлежит цел. числам

                       (2) 1-2cosx=0 => -2cosx=-1 =>cosx=1/2 =>

                            x= плюс минус arccos1/2 + 2пn =>

                       => x= плюс минус п/3 + 2пn, n принадлежит целым числам

Ответ: пn;плюс минус п/3+2пn, n принадлежит целым числам.

 

 

 

Answer 2

Начнем со второго уравнения:

$\sqrt{tg x} = \sqrt{2sinx}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$tg x = 2sinx$

Разделим обе части уравнения на $cos^2 x$:

$\frac{sinx}{cos^2 x} = \frac{2sinx}{cos^2 x}$

$sinx = 2cos^2 x sinx$

Если $sinx = 0$, то решение уравнения: $x = k\pi$, где $k$ - целое число.

Если $sinx \neq 0$, то делим обе части уравнения на $sinx$:

$1 = 2cos^2 x$

$cos^2 x = \frac{1}{2}$

$cos x = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{1}{\sqrt{2}}$

Если $cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$, то $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$, где $k$ - целое число.

Если $cos x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$, то $x = \frac{3\pi}{4} + k\pi$, где $k$ - целое число.

Перейдем к первому уравнению:

$(1-cos 2x)ctg x = sinx$

Заменим $ctg x$ на $\frac{cos x}{sin x}$:

$(1-cos 2x)\frac{cos x}{sin x} = sinx$

Упростим:

$cos x - cos^3 2x = sin^2 x$

$cos x - cos^3 2x = 1 - cos^2 x$

$cos^3 2x - cos^2 x + cos x - 1 = 0$

Заменим $cos 2x$ на $2cos^2 x - 1$:

$(2cos^2 x - 1)^3 - cos^2 x + cos x - 1 = 0$

$8cos^6 x - 12cos^4 x + 6cos^2 x - cos^2 x + cos x - 1 = 0$

$8cos^6 x - 12cos^4 x + 5cos^2 x + cos x - 1 = 0$

Решение этого уравнения с помощью обычной арифметики достаточно сложно. Однако, мы уже знаем значения $x$, при которых $cos x = \pm\frac{1}{\sqrt{2}}$. Подставим эти значения и проверим, какие из них являются решениями исходного уравнения.

Если $cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$, то:

$8\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^6 - 12\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^4 + 5\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \frac{1}{\sqrt{2}} - 1 \approx 0.8245 \neq 0$

Если $cos x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$, то:

$8\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^6 - 12\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^4 + 5\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 -\frac{1}{\sqrt{2}} - 1 \approx 0.7020 \neq 0$

Значит, уравнение корней не имеет.