Question

найдите наименьшее значение выражения                                                                          ( 5x-4y+3)^2 + (3x-y-1)^2 И значения x и y, при которых оно достигается.

Answer 1

Берем частные поризводные и приравниваем к 0
z(x, y) = (5x - 4y + 3)^2 + (3x - y - 1)^2
dz/dx = 2(5x - 4y + 3)*5 + 2(3x - y - 1)*3 = 10(5x - 4y + 3) + 6(3x - y - 1) = 0
dz/dy = 2(5x - 4y + 3)*(-4) + 2(3x - y - 1)*(-1) = -8(5x - 4y + 3) - 2(3x - y - 1) = 0
Решаем систему
{ 50x - 40y + 30 + 18x - 6y - 6 = 0
{ -40x + 32y - 24 - 6x + 2y + 2 = 0
Приводим подобные и сокращаем на 2
{ 34x - 23y + 12 = 0
{ -23x + 17y - 11 = 0
Умножаем 1 ур на 17, а 2 на 23
{ 578x -23*17y + 204 = 0
{ -529x + 23*17y - 253 = 0
Складываем уравнения
49x - 49 = 0, x = 1
23y = 34 + 12 = 46, y = 2

Точка минимума: x = 1, y = 2
z(1, 2) = (5 - 8 + 3)^2 + (3 - 2 - 1)^2 = 0 + 0 = 0

Answer 2

Раскроем скобки в каждом квадрате:
(5x-4y+3)^2 + (3x-y-1)^2 =
= 25x^2 - 40xy + 16y^2 +30x^2 - 6xy + y^2 - 30x + 8y + 10 +
+ 9x^2 - 6xy + y^2 - 6x + 2y + 1 =
= 64x^2 - 52xy + 18y^2 - 36x + 10y + 11

Заметим, что это выражение является суммой трех неотрицательных слагаемых, а значит, минимальное значение оно примет, когда все три слагаемых будут равны нулю. Тогда нужно решить систему уравнений:
64x - 52y - 36 = 0
-52x + 18y + 10 = 0
10y + 11 = 0

Решая эту систему, получаем: x = -59/65, y = -111/325. Подставляя эти значения в исходное выражение, получаем минимальное значение:
(5*(-59/65)-4*(-111/325)+3)^2 + (3*(-59/65)-(-111/325)-1)^2 ≈ 0.015409

Ответ: минимальное значение выражения равно примерно 0.015409, достигается оно при x = -59/65, y = -111/325.