Question

Докажите тождество: 2cos²(π/4-2α)=sin4α + 1. спасибо

Answer 1

Ответ:

$2cos^{2} (\frac{\pi }{4}-2\alpha)=2\frac{1+cos(\frac{\pi}{2}-4\alpha )}{2} =1+sin4\alpha$

Объяснение:

Answer 2

///////////////////////////

Answer 3

Начнем с левой стороны тождества:

2cos²(π/4-2α) = 2cos²(π/4)cos²(2α) - 2sin(π/4)cos(π/4)cos(2α) (используя формулу для cos(α-β))

Заметим, что cos(π/4) = sin(π/4) = 1/√2, поэтому можно упростить:

2cos²(π/4-2α) = 2(1/2)²cos²(2α) - 2(1/2)(1/2)cos(2α) = cos²(2α) - cos(2α)

Теперь рассмотрим правую сторону тождества:

sin4α + 1 = 2sin(2α)cos(2α) + 1 (используя формулу для sin(2α))

Теперь преобразуем правую часть, чтобы свести ее к виду, который мы получили для левой стороны:

sin4α + 1 = 2sin(2α)cos(2α) + 1 = 2(2sinαcosα)(2cos²α - 1) + 1 (используя формулы для sin(2α) и cos(2α))

= 8sinαcos³α - 4sinαcosα + 1 = 4cos²α(2cos²α - 1) - 4cos²α + 1 (используя формулу для sin²α + cos²α = 1)

= 4cos⁴α - 4cos²α + 1

Теперь мы получили одинаковые выражения для обеих сторон тождества, а значит, мы доказали, что:

2cos²(π/4-2α) = sin4α + 1.