Question

Для каких значений а имеет корни уравнение sin x - a^2 + a =1

Answer 1

Смысл решения в том, что синус принимает значения только от -1 до 1 (смотрите на график функции sin(x) и на единичную окружность - максимальное и минимальное значения : 1 и -1)

Answer 2

Перепишем данное уравнение в виде:

sin x = a^2 - a + 1

Известно, что значение sin(x) лежит в интервале [-1, 1]. Следовательно, чтобы уравнение имело решение, необходимо, чтобы значение выражения a^2 - a + 1 также лежало в этом интервале.

Рассмотрим квадратное уравнение вида:

a^2 - a + 1 = k

где k находится в интервале [-1, 1].

Для нахождения значений параметра a, при которых это уравнение имеет корни, воспользуемся условием дискриминанта:

D = (-1)^2 - 41(1-k) = 5 - 4k

Дискриминант должен быть неотрицательным:

D ≥ 0

5 - 4k ≥ 0

k ≤ 5/4

Таким образом, значения параметра a, при которых уравнение sin x - a^2 + a = 1 имеет корни, определяются интервалом:

-√(5/4) ≤ a ≤ √(5/4)

Ответ: уравнение sin x - a^2 + a = 1 имеет корни при всех значениях параметра a, удовлетворяющих неравенству -√(5/4) ≤ a ≤ √(5/4).