Question

Вычислить интеграл от функции в конечной области D, ограниченной частью параболы и прямой y=1.

Answer 1

$\iint\limits_ {D}\, x^2y\, dx=\int\limits^1_{-1}\, x^2\, dx\int\limits^1_{x^2}\, y\, dy= \int\limits^1_{-1}\, x^2\cdot \Big (\frac{y^2}{2}\Big |_{x^2}^1\Big )\, dx=\\\\=\int\limits^1_{-1}\, \frac{1}{2}\cdot x^2\cdot \Big (1-x^4\Big )\, dx=\frac{1}{2}\int \limits _{-1}^1\Big (x^2-x^6\Big )\, dx=\\\\=\frac{1}{2}\cdot (\frac{x^3}{3}- \frac{x^7}{7}\Big )\Big |_{-1}^1=\frac{1}{2}\Big (\frac{1}{3}-\frac{1}{7}-(-\frac{1}{3}+\frac{1}{7})\Big )=\\\\=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot \Big (\frac{1}{3}-\frac{1}{7}\Big )=\frac{4}{21}$

Answer 2

Для вычисления интеграла в конечной области D, ограниченной частью параболы y=x^2 и прямой y=1, можно использовать интеграл двойного интеграла:

∬D f(x, y) dxdy

где D - область интегрирования, ограниченная параболой y=x^2 и прямой y=1.

Перейдем к вычислению этого интеграла. Так как область интегрирования ограничена сверху прямой y=1, то верхний предел интегрирования по y будет равен 1. Нижний предел интегрирования по y будет равен y=x^2. Также необходимо определить границы интегрирования по x в зависимости от значения y. Границы интегрирования по x будут определяться уравнениями x=±√y.

Таким образом, интеграл можно записать в виде:

∫[0,1] ∫[√y,-√y] f(x,y) dxdy

где мы использовали то, что область интегрирования D лежит в первом квадранте и симметрична относительно оси y.

Необходимо задать функцию f(x,y), чтобы вычислить интеграл. Если f(x,y) задана, то интеграл можно вычислить численно или аналитически.