Question

Срочно!!! Алгебра! Докажите, что при любом целом n значение выражения : 11^(n+1) + 12^(2n-1)кратно 133;

Answer 1

.......................................................................................................................

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом математической индукции.

1. База индукции: при n=1 значение выражения равно 11^2 + 12^(2*1-1) = 133, что доказывает базу индукции.

2. Предположение индукции: предположим, что при n=k значение выражения 11^(k+1) + 12^(2k-1) кратно 133, то есть существует такое целое число m, что 11^(k+1) + 12^(2k-1) = 133m.

3. Шаг индукции: докажем, что при n=k+1 также выполняется условие задачи, то есть 11^(k+2) + 12^(2(k+1)-1) кратно 133.

Разложим выражение 12^(2(k+1)-1) следующим образом:

12^(2(k+1)-1) = 12^(2k+1) = 12 * 12^(2k) = 12 * (12^(2k-1) * 12)

Подставим это разложение в выражение 11^(k+2) + 12^(2(k+1)-1):

11^(k+2) + 12^(2(k+1)-1) = 11 * 11^(k+1) + 12 * (12^(2k-1) * 12)

= 11 * 11^(k+1) + 12 * 12^(2k-1) * 12

= 11 * 11^(k+1) + 12^2 * 12^(2k-1)

= 11 * 11^(k+1) + 144 * 12^(2k-1)

= 11 * (11^(k+1) + 12^(2k-1) * 13)

Заметим, что выражение в скобках кратно 133, согласно предположению индукции. Таким образом, можно записать:

11^(k+2) + 12^(2(k+1)-1) = 11 * (11^(k+1) + 12^(2k-1) * 13) = 11 * 133m = 133 * 11m.

Таким образом, мы доказали, что если утверждение выполняется при n=k, то оно также выполняется при n=k+1. По принципу математической индукции, утверждение верно для всех целых n.