Question

Найдите точки пересечения парабулы y=x в квадрате и прямой; а) x=0 б)y=2x

Answer 1

$\displaystyle \left \{ {{y=x^2} \atop {x=0}} \right.\quad\rightarrow\quad y=0,\quad \quad \boxed{(0;0)}\\\\\\\left \{ {{y=x^2} \atop {y=2x}} \right. \quad\rightarrow\quad x^2=2x\\\\\\x^2-2x=0\\\\x(x-2)=0\\\\\left[\begin{array}{ccc}x=0\\x=2\end{array}\right\quad\rightarrow\quad \left[\begin{array}{ccc}y(0)=0^2=0\\y(2)=2^2=4\end{array}\right\quad\rightarrow\quad\boxed{\left[\begin{array}{ccc}(0;0)\\(2;4)\end{array}\right }$

Answer 2

Для начала, мы должны записать уравнение параболы. Для этого мы знаем, что парабола имеет вид y = ax^2 + bx + c, где a, b и c - коэффициенты, которые мы должны найти. Мы знаем, что эта парабола проходит через точку (0,0) и (1,1), так как она имеет уравнение y=x в квадрате в квадрате.

Подставим эти значения в уравнение:

0 = a(0)^2 + b(0) + c
c = 0

1 = a(1)^2 + b(1) + 0 a + b = 1

Теперь мы можем использовать эти уравнения, чтобы определить уравнение параболы:

y = ax^2 + bx

Заметим, что парабола симметрична относительно оси y=x. Так как она проходит через точки (0,0) и (1,1), то ее вершина находится посередине между ними, т.е. в точке (0.5, 0.5). Поэтому, коэффициент b должен быть равен -1, чтобы сместить вершину на (0.5, 0.5):

y = ax^2 - x

Теперь, чтобы найти точки пересечения с прямой x = 0, мы можем просто подставить x = 0 в уравнение параболы:

y = a(0)^2 - 0 y = 0

Точка пересечения: (0, 0)

Теперь, чтобы найти точки пересечения с прямой y = 2x, мы можем подставить уравнение прямой в уравнение параболы:

2x = ax^2 - x ax^2 - 3x = 0

x(ax - 3) = 0

x = 0 или x = 3/a

Если x = 0, то точка пересечения (0,0), как мы уже нашли ранее.

Если x = 3/a, то y = 2(3/a) = 6/a.

Таким образом, вторая точка пересечения (3/a, 6/a).

Итак, мы нашли две точки пересечения: (0, 0) и (3/a, 6/a).