Question

Докажите, что при любом натуральном n значение выражения 10ⁿ+19ⁿ-2 кратно 9. (7 класс)

Answer 1

Остаток 0 при делении на 9!

Answer 2

Для доказательства того, что выражение 10ⁿ + 19ⁿ - 2 кратно 9 при любом натуральном n, можно воспользоваться методом математической индукции.

Базовый случай: Для n = 1, выражение 10ⁿ + 19ⁿ - 2 принимает значение 10 + 19 - 2 = 27, которое кратно 9.

Шаг индукции: Допустим, что выражение 10ⁿ + 19ⁿ - 2 кратно 9 при некотором натуральном n = k, т.е. 10^k + 19^k - 2 = 9m для некоторого целого m.

Нужно доказать, что выражение кратно 9 и при n = k + 1, т.е. 10^(k+1) + 19^(k+1) - 2 = 9q для некоторого целого q.

Разложим каждую степень по формуле (a+b)² = a² + 2ab + b²:

10^(k+1) = (10 * 10^k) = (9 + 1) * 10^k = 9 * 10^k + 10^k 19^(k+1) = (19 * 19^k) = (18 + 1) * 19^k = 18 * 19^k + 19^k

Тогда:

10^(k+1) + 19^(k+1) - 2 = (9 * 10^k + 10^k) + (18 * 19^k + 19^k) - 2 = 9 * 10^k + 18 * 19^k + 10^k + 19^k - 2 = 9 * (10^k + 2 * 19^k) + (10^k + 19^k) - 2 = 9 * (10^k + 19^k - 2) + (10^k + 19^k - 2) + 7 = 9m + 9(10^k + 19^k - 2)/9 + 7 = 9(m + (10^k + 19^k - 2)/9) + 7

Таким образом, мы видим, что выражение кратно 9 при любом натуральном n.

По принципу математической индукции, это доказательство верно для всех натуральных n.