Question

Решите систему уравнений:x^2-xy-2y^2=0 x^2+y^2=20

Answer 1

1) {x²-xy-2y²=0
    {x²+y²=20

   x²-xy-2y²=0
   x²+xy-2xy-2y²=0
   x(x+y)-2y*(x+y)=0
   (x-2y)(x+y)=0
--------------------------------------------------------------
   {x+y=0                              { x=-y
   {x²+y²=20                          {x²+y²=20  

   (-y)²+y²=20
   y²+y²=20
   2y²=20
   y²=10
   y=-√10 и y=√10
   x=√10 и x=-√10
  
-------------------------------------------------------------
2) {x-2y=0                              {x=2y
    {x²+y²=20                           {x²+y²=20

   (2y)²+y²=20
   4y²+y²=20
   5y²=20
   y²=4
   y=-2 и y=2  
   x=2*(-2) и x=2*2
   x=-4 и x=4
   

Answer 2

Начнем с решения второго уравнения:

Copy code
x^2 + y^2 = 20

Мы можем выразить y через x из первого уравнения и подставить во второе уравнение, чтобы получить уравнение только для x:

scssCopy code
x^2 - xy - 2y^2 = 0
y^2 = (x^2)/(2-x)
y = +/- sqrt((x^2)/(2-x))
x^2 + (x^2)/(2-x) = 20
x^3 - 20x^2 + 20x - x^2 = 0
x^3 - 21x^2 + 20x = 0
x(x-1)(x-20) = 0

Мы получили кубическое уравнение для x, которое имеет три корня: x = 0, x = 1, и x = 20. Теперь мы можем вычислить соответствующие значения y:

• Если x = 0, то из второго уравнения следует, что y = +/- sqrt(20).
• Если x = 1, то из первого уравнения следует, что y = (1 +/- sqrt(5))/2.
• Если x = 20, то из первого уравнения следует, что y = 2*sqrt(5).

Таким образом, система имеет три решения:

scssCopy code
(0, sqrt(20)), (0, -sqrt(20))
(1/2 + sqrt(5)/2, 1/2 - sqrt(5)/2), (1/2 - sqrt(5)/2, 1/2 + sqrt(5)/2)
(20, 2sqrt(5)), (20, -2sqrt(5))

Ответ: система имеет три решения, которые перечислены выше.