Question

Третий член арифметической прогрессии равен 10, а восьмой 30. Сколько нужно взять членов, чтобы сумма их равнялась 242?

Answer 1

Третий член арифметической прогрессии равен 10, а восьмой 30. Сколько нужно взять членов, чтобы сумма их равнялась 242?

$a_3=a_1+2d=10$

$a_8=a_1+7d=30$

Cоставим систему, из которой найдем знаменатель прогрессии и первый ее член:

$\left \{ {{a_1+7d=30} \atop {a_1+2d=10}} \right.$

$\left \{ {{-a_1-7d=-30} \atop {a_1+2d=10}} \right.$

-5d = -20

5d = 20

d = 4

$a_1=10-2d$

$a_1=10-8=2$

$S_n=\frac{2*a_1+d(n-1)}{2} n$

Подставим имеющиеся значения в формулу:

$242 = \frac{4+4(n-1)}{2}n$

242 = 2n² + 2n - 2n

2n² = 242

n² = 121

n = +-11

Значит, необходимо взять 11 членов.

Ответ: 11

Answer 2

Обозначим первый член арифметической прогрессии как $a$, а разность между членами как $d$. Тогда третий член будет равен $a+2d=10$, а восьмой член будет равен $a+7d=30$.

Решим систему уравнений:

a+2d=10 \\ a+7d=30 \end{cases}$$ Вычтем из второго уравнения первое, чтобы избавиться от $a$: $$5d=20$$ Отсюда $d=4$, и мы можем найти $a$ из любого из двух уравнений: $$a+2\cdot 4 = 10 \Rightarrow a=2$$ или $$a+7\cdot 4 = 30 \Rightarrow a=2$$ Таким образом, первый член равен 2, а разность равна 4. Формула для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $$S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$$ Подставим значения $a=2$, $d=4$ и найдем количество членов $n$, для которого $S_n=242$: $$242 = \frac{n}{2}(2\cdot 2 + (n-1)\cdot 4)$$ $$242 = n(2n+2)$$ $$n^2+n-121=0$$ Решим квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта: $$D = b^2-4ac = 1^2-4\cdot 1\cdot (-121) = 485$$ $$n_{1,2} = \frac{-1\pm\sqrt{D}}{2a} = \frac{-1\pm\sqrt{485}}{2} \approx -11.8, 10.8$$ Из физических соображений, количество членов $n$ должно быть положительным целым числом, поэтому берем только положительное решение: $$n \approx 10.8$$ Значит, нужно взять 11 членов, чтобы сумма их равнялась 242.