Question

Решить уравнение cos5x*cos3x=1-sin5x*sin3x

Answer 1

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Answer 2

Приведём левую и правую части уравнения к виду, содержащему только одну тригонометрическую функцию:

cos 5x * cos 3x = 1 - sin 5x * sin 3x

cos 5x * cos 3x = cos (π/2 - 5x) * cos (π/2 - 3x) (т.к. sin (π/2 - x) = cos x)

cos 5x * cos 3x = sin (5x - π/2) * sin (3x - π/2) (т.к. sin (π/2 - x) = cos x)

Теперь применим формулу произведения синусов:

cos 5x * cos 3x = - cos (5x + 3x - π/2) + cos (5x - 3x - π/2)

cos 5x * cos 3x = - cos (7x - π/2) + cos (2x - π/2)

cos 5x * cos 3x = sin (7x) - sin (2x)

Таким образом, уравнение принимает вид:

sin (7x) - sin (2x) = 1 - sin 5x * sin 3x

Применим формулу разности синусов:

2 cos ((7x + 2x)/2) * sin ((7x - 2x)/2) = 1 - sin 5x * sin 3x

cos (4.5x) * sin (2.5x) = 1 - sin 5x * sin 3x

Теперь воспользуемся формулой произведения синусов:

cos (4.5x) * (sin (5x) - sin (3x)) = 1 - sin 5x * sin 3x

cos (4.5x) * sin (5x) - cos (4.5x) * sin (3x) = 1 - sin 5x * sin 3x

Теперь применим формулу синуса суммы:

cos (4.5x) * sin (5x) - cos (4.5x) * sin (3x) = 1 - (1/2) * cos (5x - 3x) - (1/2) * cos (5x + 3x)

cos (4.5x) * sin (5x) - cos (4.5x) * sin (3x) = 1 - (1/2) * cos (2x) - (1/2) * cos (8x)

Теперь заменим cos (4.5x) через sin (4.5x) с помощью формулы соответствия знаков:

sin (4.5x + π/2) * sin (5x) - sin (4.5x + π/2) * sin (3x) = 1 - (1/2) * cos (2x) - (1/2) * cos (8x)

sin (4.5x + π/2) * sin (5x - 3x) = 1 - (1/2