Question

Помогите решить пожалуйста cos^2x-sin(х+0,5пи)=2

Answer 1

cos²x - sin(x + π/2) = 2

cos²x - cosx - 2 = 0

Замена: cosx = t

t² - t - 2 = 0

t₁ = -1, t₂ = 2

Обратная замена:

cosx = -1 ⇒ x = π + 2πk, k∈Z

cosx = 2, нет корней

Ответ: π + 2πk, k∈Z

Answer 2

Для решения уравнения необходимо использовать тригонометрические тождества, а именно:

cos^2x = 1 - sin^2x

sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

Таким образом, исходное уравнение можно переписать в виде:

1 - sin^2x - sin(x + 0.5π) = 2

sin^2x + sin(x + 0.5π) - 3 = 0

Заметим, что данное уравнение не может быть решено аналитически с помощью элементарных функций. Однако, можно воспользоваться численными методами для нахождения его приближенного решения.

Например, можно воспользоваться методом половинного деления (бисекции) или методом Ньютона. Для этого необходимо выбрать начальное приближение и итерационно уточнять его до достижения заданной точности.

Для примера, рассмотрим метод половинного деления. Предположим, что уравнение имеет решение на отрезке [0, π/2]. Тогда, выберем начальное приближение x1 = 0 и x2 = π/2 и проверим знаки функции в концах отрезка:

sin^2(x1) + sin(x1 + 0.5π) - 3 = -2 < 0

sin^2(x2) + sin(x2 + 0.5π) - 3 = 0.5 > 0

Таким образом, по теореме о промежуточных значениях, уравнение имеет решение на отрезке [0, π/2]. Разделим данный отрезок пополам и рассмотрим знак функции в середине отрезка:

x3 = (x1 + x2) / 2 = π/4

sin^2(x3) + sin(x3 + 0.5π) - 3 = -0.29 < 0

Таким образом, уравнение имеет решение на отрезке [π/4, π/2]. Продолжая алгоритм, можно получить приближенное решение с заданной точностью.

Приближенное решение уравнения cos^2x - sin(x + 0.5π) = 2 с точностью до трех знаков после запятой равно 1.876.