Question

Найдите промежутки возрастания, убивания функции f(x)

Answer 1

Y=x^2*e^x
y`=2x*e^x+x^2*e^x = e^x*(x)*(x+2)
y` > 0 при x >0 и при х < -2 - это промежутки возрастания
y` < 0 при -2 < x < 0  - это промежуток убывания

y=x^3-3*ln(2x)=x^3-3*ln(2)-3*ln(x)
ОДЗ х > 0
y`=3x^2-3/x
y`=0 при х=1
y` >0 при x >1 - это промежуток возрастания
y` < 0 при 0<x <1 - это промежуток убывания 

Answer 2

Для того, чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции f(x), нужно найти ее производную и решить уравнение f'(x) = 0, чтобы найти ее экстремумы. Затем нужно проверить знак производной на каждом из интервалов между экстремумами, чтобы определить, где функция возрастает, а где убывает.

Если f'(x) > 0 на промежутке, то функция возрастает на этом промежутке, а если f'(x) < 0, то функция убывает.

Если f'(x) меняет знак на точке x=a, то это может быть местом экстремума, и нужно проверить знак производной на промежутках (a - ε, a) и (a, a + ε), где ε - небольшое число. Если f'(x) > 0 на (a - ε, a) и f'(x) < 0 на (a, a + ε), то это локальный максимум, а если f'(x) < 0 на (a - ε, a) и f'(x) > 0 на (a, a + ε), то это локальный минимум.

Если f'(x) не меняет знак на точке x=a, то это может быть точкой перегиба, и нужно анализировать вторую производную f''(x) в этой точке. Если f''(a) > 0, то это точка перегиба, где функция начинает выпуклость вверх, а если f''(a) < 0, то это точка перегиба, где функция начинает выпуклость вниз.

Таким образом, для определения промежутков возрастания и убывания функции f(x) нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции f(x).
2. Найти все точки, где f'(x) = 0, и проверить знак f''(x) в этих точках, чтобы определить экстремумы и точки перегиба.
3. Проверить знак f'(x) на каждом интервале между экстремумами и точками перегиба. Если f'(x) > 0 на интервале, то функция возрастает на этом промежутке, а если f'(x) < 0, то функция убывает.