Question

Решите уравнение 2sin2x +( √2-1)=√2-1(sinx-cosx)

Answer 1

2sinxcosx + √2 - 1 = √2 - sinx + cosx
2sinxcosx + √2 - 1 - √2 + sinx - cosx = 0
2sinxcosx - cosx -1 = 0
cosx(2sinx - 1) - 1 = 0
cosx - 1 = 0
cos x = 1
x = 2pk k принадлежит z

2sinx = 1
x = (-1) в степени n p/6 + pn n принадлежит z 

Answer 2

Для решения данного уравнения необходимо использовать тригонометрические тождества и свойства.

Сначала приведем правую часть уравнения к виду, удобному для дальнейших действий:

√2-1(sinx-cosx) = √2sin(π/4) - sin(π/4)sinx - cos(π/4)cosx = sin(π/4)cosx - cos(π/4)sinx + (√2-1)sin(π/4) = sin(π/4 + x) + (√2-1)sin(π/4)

Таким образом, уравнение может быть переписано в следующем виде:

2sin2x + (√2-1) = sin(π/4 + x) + (√2-1)sin(π/4)

Заметим, что выражение в правой части может быть упрощено, если воспользуемся формулой синуса суммы:

sin(π/4 + x) = sin(π/4)cos(x) + cos(π/4)sin(x) = (1/√2)cos(x) + (1/√2)sin(x)

Тогда уравнение принимает следующий вид:

2sin2x + (√2-1) = (1/√2)cos(x) + (1/√2)sin(x) + (√2-1)sin(π/4)

2sin2x - (1/√2)cos(x) - (1/√2)sin(x) = (√2-1)sin(π/4) - (√2-1)

Применяя затем формулу двойного угла для синуса и формулу для разности косинусов, мы получим:

4sin(x)cos(x) - (1/√2)(cos2x - sin2x) - (√2-1)(cos(π/4)cosx + sin(π/4)sinx) = -2

Учитывая, что cos(π/4) = sin(π/4) = 1/√2, получим:

4sin(x)cos(x) - (1/√2)(cos2x - sin2x) - (√2-1)(1/√2)(cosx + sinx) = -2

Упрощая выражение, получим:

4sin(x)cos(x) - (1/√2)cos2x + (1/√2)sin2x - (1/√2)cosx - (1/√2)sinx = -2 + (√2-1)(1/√2)

Далее, используя формулы приведения для синуса и косинуса, можем переписать выражение в следующем виде:

2sin2(2x) - sin(π/4)cos(x) - cos(π/4)sin(x) - (1/√2)cosx - (1/√2)sinx = -