Question

Первообразная e^x+sin y

Answer 1

Первообразная функции F=e^x+sin y

F'=e^x+sin y+C

Answer 2

Для нахождения первообразной функции f(x,y) = e^x+sin y, нужно найти функцию F(x,y), такую что частные производные F по x и по y будут соответственно равны e^x и cos y.

Интегрируя первую частную производную по x, получаем:

F(x,y) = ∫e^x dx + g(y) = e^x + g(y) + C, где C - произвольная постоянная интегрирования, а g(y) - функция только от y.

Для определения g(y) можно использовать вторую частную производную F по y:

∂F/∂y = cos y + g'(y)

Отсюда получаем:

g(y) = ∫cos y dy = sin y + C1, где C1 - еще одна произвольная постоянная интегрирования.

Итак, первообразная функции f(x,y) = e^x+sin y равна:

F(x,y) = e^x + sin y + C + C1,

где C и C1 - произвольные постоянные.