Question

Hайдите наименьшее значение функции y=11x-ln(11x)+9 на отрезке [ ; ]

Answer 1

$y=11x-ln(11x)+9\\ y'=11-\dfrac{1}{11x}\cdot 11=\dfrac{11x-1}{x} \\ \\ 11x-1=0\\ x=\dfrac{1}{11}$

x=1/11 - точка минимума

$y(\dfrac{1}{11})=11\cdot\dfrac{1}{11}-ln(11\cdot\dfrac{1}{11})+9=1-0+9=10$

Ответ: 10

Answer 2

Для того, чтобы найти наименьшее значение функции на заданном отрезке, необходимо сначала найти точки, где производная функции равна нулю или не существует (экстремумы), а затем сравнить значения функции в этих точках и на концах отрезка.

Для функции y=11x-ln(11x)+9 производная имеет вид:

y' = 11 - 1/x

Чтобы найти точки экстремума, нужно решить уравнение y' = 0:

11 - 1/x = 0

1/x = 11

x = 1/11

Так как производная не меняет знак на всем отрезке, то найденная точка является точкой минимума функции на отрезке [0, 1/11].

Теперь остается сравнить значения функции в этой точке и на концах отрезка:

y(0) = 11*0 - ln(0) + 9 = -бесконечность

y(1/11) = 11*(1/11) - ln(1) + 9 = 9

y(1) = 11*1 - ln(11) + 9 ≈ 19.09

Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке [0, 1/11] равно 9.