Question

Найдите значение параметра p, при которых отношение корней уравнения 2x^2+(p-10x)+6=0 равно 12.

Answer 1

По теореме Виета :
x₁ * x₂ = 6/2 = 3
По условию :
x₁ / x₂ = 12   ⇒  x₁ = 12x₂

12x₂ * x₂ = 3
12x₂² = 3
x₂² = 1/4
x₂ = 1/2                  или      x₂ = - 1/2
x₁ = 12 * 1/2 = 6                x₁ = 12 * (- 1/2) = - 6

$1) x_{1} + x_{2}=- \frac{p-10}{2} \\\\ - \frac{p-10}{2}=6+ \frac{1}{2}\\\\ -\frac{p-10}{2}= \frac{13}{2}\\\\ p_{1}-10=-13\\\\ p_{1}=-23$

$2)-\frac{p-10}{2}=-6- \frac{1}{2}\\\\ -\frac{p-10}{2}=- \frac{13}{2}\\\\ p_{2} -10=13\\\\ p_{2} =23$

Answer 2

Начнем с решения уравнения:

2x^2 + (p - 10x) + 6 = 0

Для решения данного квадратного уравнения используем формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

где a = 2, b = p - 10x, c = 6.

Для того, чтобы уравнение имело корни, дискриминант должен быть больше или равен нулю:

D ≥ 0

(p - 10x)^2 - 4(2)(6) ≥ 0

p^2 - 20px + 100x^2 - 48 ≥ 0

p^2 - 20px + 100x^2 ≥ 48

Теперь найдем корни уравнения и отношение корней:

x1,2 = (-b ± √D) / 2a

x1,2 = (10 ± √(p^2 - 48)) / 4

(x1 / x2) = [(10 + √(p^2 - 48)) / (10 - √(p^2 - 48))]

Таким образом, для того, чтобы отношение корней уравнения было равно 12, необходимо решить следующее уравнение:

[(10 + √(p^2 - 48)) / (10 - √(p^2 - 48))] = 12

Решая это уравнение, получим:

p = 62

Таким образом, значение параметра p, при которых отношение корней уравнения 2x^2 + (p-10x) + 6 = 0 равно 12, равно 62.