Question

Сумма шестого и девятого членов арифметической прогрессии на 12 больше суммы седьмого и четвертого. Найдите разность прогрессии. 

Answer 1

A6+a9=a7+a4+12запишем все через a1a1+5d+a1+8d=a1+6d+a1+3d+1213d=9d+124d=12 d=3

Answer 2

Пусть первый член арифметической прогрессии равен $a$, а разность прогрессии равна $d$. Тогда шестой член прогрессии равен $a + 5d$, девятый член равен $a + 8d$, седьмой член равен $a + 6d$, а четвертый член равен $a + 3d$.

Условие задачи можно записать в виде уравнения: $(a + 5d) + (a + 8d) = (a + 6d) + (a + 3d) + 12$

Решая это уравнение, получим: $2a + 13d = 12$

Чтобы найти разность прогрессии $d$, нужно еще одно уравнение. Для этого можно воспользоваться формулой для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$

Сумма первых семи членов равна: $S_7 = \frac{7}{2}(2a + 6d) = 7a + 21d$

Сумма первых десяти членов равна: $S_{10} = \frac{10}{2}(2a + 9d) = 10a + 45d$

Тогда разность между прогрессией будет: $d = \frac{S_{10}-S_{7}}{3}=\frac{(10a + 45d)-(7a + 21d)}{3}=8d$

Из уравнения $2a+13d=12$ получаем $a = \frac{12-13d}{2}$, заменяя в уравнении разности прогрессии $d$ на $\frac{1}{8}$, получаем:

$d = 8\cdot \frac{1}{8} = 1$

Таким образом, разность прогрессии равна $d = \boxed{1}$.