Question

Здравствуйте, помогите пожалуйста, найдите cos (t+пи/4) если sin t = 15/17 если t принадлежит (0; пи/2) Ответ был вот такой cos (t+пи/4)=cost*cos(П/4) - sint*sin(П/4) = cost=8/17 ( из основного тригонометрического тождества) 8/17 * sqrt{2}/2 - 15/17 * sqrt{2}/2 = -7sqrt{2}/34 ОБЪЯСНИТЕ ПОЖАЛУЙСТА cost=8/17

Answer 1

Cost=8/17
t= + frccos8/17+2пк,к принадл Z
     -

Answer 2

Для того чтобы понять, почему $cos(t+\frac{\pi}{4})=\frac{8}{17}$, нужно воспользоваться основным тригонометрическим тождеством для синуса и косинуса суммы углов: $cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)$

В данном случае мы имеем $a=t$ и $b=\frac{\pi}{4}$, поэтому: $cos(t+\frac{\pi}{4})=cos(t)cos(\frac{\pi}{4})-sin(t)sin(\frac{\pi}{4})$

Мы знаем, что $sin(t)=\frac{15}{17}$, так как $t$ лежит в интервале $(0, \frac{\pi}{2})$ и $\frac{15}{17}$ - это соответствующее значение синуса в этом интервале. Кроме того, мы знаем, что $cos(\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sqrt{2}}$ и $sin(\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Подставляя эти значения, получим: $cos(t+\frac{\pi}{4})=cos(t)\frac{1}{\sqrt{2}}-sin(t)\frac{1}{\sqrt{2}}$

Осталось найти значение $cos(t)$, зная, что $sin(t)=\frac{15}{17}$. Воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения катета прямоугольного треугольника: $sin^2(t)+cos^2(t)=1$ $cos^2(t)=1-sin^2(t)$ $cos(t)=\pm\sqrt{1-sin^2(t)}$

Так как $t$ лежит в интервале $(0, \frac{\pi}{2})$, то $cos(t)$ должен быть положительным. Используя это условие, получаем: $cos(t)=\frac{8}{17}$

Теперь можем подставить это значение в выражение для $cos(t+\frac{\pi}{4})$: $cos(t+\frac{\pi}{4})=\frac{8}{17}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{15}{17}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{7\sqrt{2}}{34}$

Таким образом, мы нашли искомое значение $cos(t+\frac{\pi}{4})$.