Question

Найти производную функции y=x/√(x^2+1)

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Для нахождения производной функции y=x/√(x^2+1), необходимо воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции. Пусть u(x) = x^2 + 1, тогда y(x) = x/√u(x). Применяя правило дифференцирования сложной функции, получим:

y'(x) = [√u(x)]' * x / u(x) + √u(x) * [x/u(x)]'

Найдем первое слагаемое:

[√u(x)]' = 1/2 * u(x)^(-1/2) * u'(x) = 1/2 * (x^2 + 1)^(-1/2) * 2x = x / (x^2 + 1)^(3/2)

Найдем второе слагаемое:

[x/u(x)]' = (1 * u(x) - x * u'(x)) / u(x)^2 = (x^2 + 1 - x * 2x) / (x^2 + 1)^2 = (1 - x^2) / (x^2 + 1)^2

Подставляем найденные значения в исходное выражение для y'(x):

y'(x) = x / (x^2 + 1)^(3/2) * x / u(x) + √u(x) * (1 - x^2) / (x^2 + 1)^2

Упрощая полученное выражение, получаем:

y'(x) = (1 - x^2) / (x^2 + 1)^(3/2)

Таким образом, производная функции y=x/√(x^2+1) равна y'(x) = (1 - x^2) / (x^2 + 1)^(3/2).