Question

Найти сумму первых девяти членов арифметической прогрессии(хn), если x3=20, x5=-40.

Answer 1

Между  $a_3$ и $a_5$ два члена, поэтому вычисляем разницу между этими членами ( $a_5-a_3$) и делим на 2 (потому что какое-то число прибавлялось в два етапа: от $a_3$ к $a_4$ и от $a_4$ к $a_5$):
$a_5-a_3=-40-20=-60; \\ \frac{-60}{2}=-30$ - это разность данной арифметической прогрессии.

Проверим:
$a_4=a_3+d=20+(-30)=-10; \\ a_5=a_4+d=-10-30=-40$ - совпадает с данными.

Найдём  $a_1$:
[Между $a_3$ и $a_1$ тоже два этапа, поэтому d нужно отнять два раза от $a_3$]
$a_1=a_3-2d=20-2*(-30)=20+60=80.$

Можем тоже проверить(проверять это необязательно, если хорошо знаешь формулы и уверен в результате):
$a_2=a_1+d=80-30=50; \\ a_3=a_1+2d=80+2*(-30)=80-60=20; \\ (a_3=a_2+d=50-30=20)$ - данные совпадают.

Найдём  $a_9$:
$a_9=a_1+8d=80+8*(-30)=-160.$

Теперь найдём непосредственно сумму членов от 1 к 9:
$S_n= \frac{(a_1+a_n)*n}{2}$, где n - член к которому нужно считать (здесь 9).
$S_9= \frac{(80+(-160))*9}{2}=-360.$

Ответ: сумма первых девяти членов арифметической прогресии равна -360.

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем использовать систему из двух уравнений с двумя неизвестными, основанную на определении арифметической прогрессии:

x3 = x1 + 2d (уравнение 1) x5 = x1 + 4d (уравнение 2)

где x1 - первый член прогрессии, d - разность прогрессии.

Мы можем решить эту систему, используя метод замены или метод сложения уравнений.

Метод замены: Из уравнения 1 выражаем x1: x1 = x3 - 2d Подставляем x1 в уравнение 2: x5 = (x3 - 2d) + 4d x5 = x3 + 2d Получаем систему с одним уравнением и одной неизвестной: x3 - 2d = 20 x3 + 2d = -40 Решая эту систему, находим d = -15 и x1 = 65.

Теперь мы можем найти сумму первых девяти членов прогрессии, используя формулу суммы арифметической прогрессии: Sn = n * (a1 + an) / 2, где n = 9 - количество членов, a1 = 65 - первый член, an = x9 - девятый член.

Для нахождения x9 мы можем использовать формулу общего члена арифметической прогрессии: xn = x1 + (n-1)d, где n = 9, x1 = 65, d = -15. x9 = 65 + (9-1)(-15) = -55.

Теперь мы можем вычислить сумму первых девяти членов прогрессии: Sn = 9 * (65 - 55) / 2 = 45.

Таким образом, сумма первых девяти членов арифметической прогрессии равна 45.