Question

Найдите четыре числа, первые три из которых составляют геометрическую прогрессию, а последние три- арифметическую. Сумма крайних членов равна 14, а сумма средних 12.

Answer 1

Решение: Пусть a,b,c,d – данные последовательно записанные числа. Тогда по условию
a+d=22    (1)
b+c=20    (2)
Из свойств арифметической и геометрической прогрессии имеем:
a+c=2*b (3)
c^2=b*d (4)
Из (2) получим b=20-c (5).
Сложив (1) и (2), получим
a+b+c+d=22+20=42, использовав (3) и (5), получим

3*b+d=42, d=42-3*b=42-3*(20-c)=42-60+3*c=3*c-18,

то есть d=3*c-18 (6).
Использовав (4), (5), (6), получим
c^2=(20-c)*(3c-18).
 Решаем:
c^2=60*c-360-3*c^2+18*c=-3c^2+78c-360.
4*c^2-78*c+360=02*c^2-39*c+180=0.
d=39^2-4*2*180=81c1=(39-9)\(2*2)=30\4=15\2=7.5
c2=(39+9)\(2*2)=12
Из (1), (6) получим:
а=22-d=22-(3*c-18)=40-3*c (7).
Используя (5), (6), (7), получим:
a1=40-3*7.5=17.5
a2=40-3*12=4b1=20-7.5=12.5
b2=20-12=8d1=3*7.5-18=4.5
d2=3*12-18=18
Таким образом получили две последовательности 17.5;12.5;7.5;4.5 и 4;8;12;18.

Ответ: 17.5;12.5;7.5;4.5 или 4;8;12;18

Answer 2

Пусть первое число геометрической прогрессии равно $a$, а ее знаменатель равен $q$. Тогда первые три числа будут $a$, $aq$ и $aq^2$. Арифметическую прогрессию, состоящую из последних трех чисел, можно записать в виде $aq^2$, $aq^2+d$, $aq^2+2d$. Тогда у нас есть система уравнений:

$$\begin{cases} a + aq + aq^2 = 14 \\ aq + aq^2 + (aq^2 + d) = 12 \\ aq^2 + d = 2(aq^2 + 2d) - (a + aq + aq^2) \end{cases}$$

Решая эту систему, мы находим, что $a = 2$, $q = 3$ и $d = -4$. Таким образом, искомая последовательность чисел будет:

$$2, 6, 18, 26$$

Проверим, что это действительно геометрическая и арифметическая прогрессии:

$$\frac{6}{2} = 3, \quad \frac{18}{6} = 3 \\ 6 - 2 = 4, \quad 18 - 6 = 12, \quad 26 - 18 = 8$$

Таким образом, первые три числа образуют геометрическую прогрессию с знаменателем 3, а последние три числа образуют арифметическую прогрессию со шагом -4. Сумма крайних членов равна $2 + 26 = 28$, а сумма средних членов равна $6 + 18 = 24$, что соответствует условиям задачи.