Question

Установить, что векторы a{- 3;1; 7}, b{9;-1;0},c{- 2;2;1} образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе, если вектор d {2;0;-2} .

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Базис - линейно независимая система. Так как матрица квадратная, то можно не преобразовывать ее по Гауссу, а просто посчитать детерминант.

$det\left[\begin{array}{ccc}-3&1&7\\9&-1&0\\-2&2&1\end{array}\right] = -3*-1*1 + 7*2*9+1*0*-2 - \\ \\ \\ - 7*-1*-2 - 2*0*-3 - 1 * 1*9 = 3+126-14-9 = 106 \neq 0$

Определитель не равен нулю, значит векторы линейно независимы, потому составляют базис.

Находим координаты вектора в базисе. Для этого нужно составить систему уравнений и записать ее в матрицу, где каждый вектор из базиса - столбик.

$\left[\begin{array}{cccc}-3&9&-2&| \ 2\\1&-1&2&| \ 0\\7&0&1&| \ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0&6&4&| \ 2\\1&-1&2&| \ 0\\0&7&-13&| \ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0&6&4&| \ 2\\1&-1&2&| \ 0\\0&1&-17&| \ 0\end{array}\right]=\\ \\ =\left[\begin{array}{cccc}0&6&4&| \ 2\\1&0&-15&| \ 0\\0&1&-17&| \ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0&0&106&| \ 2\\1&0&-15&| \ 0\\0&1&-17&| \ 0\end{array}\right] =$

$=\left[\begin{array}{cccc}0&0&1&| \ 1/53\\1&0&0&| \ 15/53\\0&1&0&| \ 17/53\end{array}\right]$

Итого, координаты вектора [2, 0, -2] в данном базисе будут $(\frac{15}{53}, \frac{17}{53} , \frac{1}{53} )$

Answer 2

Для того чтобы установить, что векторы a, b и c образуют базис в трехмерном пространстве, необходимо проверить, что они линейно независимы (то есть не могут быть выражены один через другой) и что любой вектор в этом пространстве может быть выражен через комбинацию этих векторов.

Проверим линейную независимость векторов a, b и c, решив систему уравнений:

rCopy code
-3a + 9b - 2c = 0
  a - b + 2c = 0
 7a + 0b + 1c = 0

Эта система имеет только тривиальное решение, когда все коэффициенты равны нулю, то есть a = b = c = 0. Это означает, что векторы a, b и c линейно независимы.

Далее проверим, что любой вектор в пространстве может быть выражен через комбинацию векторов a, b и c. Для этого найдем коэффициенты x, y и z в линейной комбинации:

cssCopy code
x * a + y * b + z * c = d

Подставляя значения векторов и вектора d, получим систему уравнений:

diffCopy code
-3x + 9y - 2z = 2
  x - y + 2z = 0
 7x + z = -2

Решив эту систему методом Гаусса, получим x = -1, y = 1 и z = 1. Таким образом, вектор d может быть выражен через комбинацию векторов a, b и c следующим образом:

cssCopy code
d = -a + b + c

Наконец, найдем координаты вектора d в базисе {a, b, c}. Они будут равны коэффициентам в линейной комбинации:

cssCopy code
d = -1 * a + 1 * b + 1 * c

Таким образом, координаты вектора d в базисе {a, b, c} будут (-1, 1, 1).