Question

На плоскости даны точки А(1 ;-3) В(0;2) С(-1;4). Составить уравнение прямой, содержащей высоту треугольника АВС, проведенную из вершины А.

Answer 1

Даны точки А(1 ; -3) В(0; 2) С(-1; 4).

Высота из точки А на ВС - перпендикуляр АН.

Составляем уравнение стороны ВС:

Вектор ВС: (-1-0=-1; 4-2=2) = (-1; 2)

Уравнение ВС: (х - 0)/(-1) = (у - 2)/2.

2х  = -1у + 2

у = -2х + 2.

Угловой коэффициент перпендикулярной прямой к ВС равен:

к = -1/(к(ВС) = -1/(-2) = 1/2.

Уравнение имеет вид у = (1/2)х + в.

Для определения в подставим координаты точки А.

-3 = (1/2)*1 + в,

в = -3 - (1/2) = -3,5.

Получаем уравнение ВН:  у = (1/2)х - 3,5.

Answer 2

Для того чтобы составить уравнение прямой, содержащей высоту треугольника АВС, проведенную из вершины А, нам нужно найти координаты точки пересечения этой высоты с стороной ВС.

1. Найдем уравнение прямой, проходящей через точки В и С. Для этого воспользуемся формулой нахождения уравнения прямой по двум точкам: y - y1 = (y2 - y1) / (x2 - x1) * (x - x1) где x1, y1 и x2, y2 - координаты точек В и С соответственно.

Тогда для точек В(0;2) и С(-1;4) получим: y - 2 = (4 - 2) / (-1 - 0) * (x - 0) y - 2 = -2x y = -2x + 2 - уравнение прямой, проходящей через точки В и С.

2. Найдем уравнение прямой, перпендикулярной стороне ВС и проходящей через точку А. Для этого воспользуемся свойством высоты треугольника, которое гласит, что высота перпендикулярна стороне треугольника, на которую она опущена.

Таким образом, угловой коэффициент искомой прямой будет противоположным и обратным к угловому коэффициенту прямой, проходящей через точки В и С. То есть: k = 1 / 2

Точка А(1;-3) лежит на искомой прямой, поэтому мы можем использовать формулу нахождения уравнения прямой в общем виде: y - y1 = k * (x - x1) где x1, y1 - координаты точки А.

Тогда для точки А(1;-3) и углового коэффициента k = 1/2 получим: y + 3 = 1/2 * (x - 1) y = 1/2 * x - 5/2 - уравнение искомой прямой.

3. Найдем координаты точки пересечения искомой прямой с стороной ВС. Для этого решим систему уравнений искомой прямой и прямой, проходящей через точки В и С: y = -2x + 2 y = 1/2 * x - 5/2

Из этой системы получаем: -2x + 2 = 1/2 * x - 5/2 -5/2 * x = -9/2