Question

Функция y=e^x/x в точке x0=1 Выберите 1)имеет максимум 2)имеет минимум 3)не имеет экстремума

Answer 1

Ответ:  при х=1 функция имеет минимум.

Объяснение:

$y=\frac{e^{x}}{x}\\\\y'=\frac{e^{x}\cdot x-e^{x}}{x^2}=\frac{e^{x}\cdot (x-1)}{x^2}=0\; \; \; \to \; \; \left \{ {{e^{x}\cdot (x-1)=0} \atop {x\ne 0}} \right. \\\\Tak\; kak\; e^{x}>0\; ,\; \; to\; \; (x-1)=0\; ,\; \; x=1\\\\znaki\; y'(x):\; \; \; ---(1)+++\\\\.\qquad \qquad \qquad \quad \searrow \; \; (1)\; \; \nearrow \\\\x_0=1=\underline {x_{min}}$

Answer 2

Для определения экстремумов функции y=e^x/x необходимо вычислить её производную и приравнять её к нулю:

y' = (xe^x - e^x)/x^2 = e^x(x-1)/x^2

Установим значение x, при котором производная равна нулю:

e^x(x-1) = 0

Отсюда следует, что x=0 или x=1.

Однако x=0 не является точкой экстремума, так как функция y=e^x/x не определена в этой точке.

Значит, точка x=1 является единственной точкой, где может находиться экстремум функции y=e^x/x. Чтобы определить её тип, нужно проанализировать знак производной в окрестности этой точки.

При x<1 производная y' отрицательна, а при x>1 она положительна. Это означает, что в точке x=1 функция y=e^x/x имеет локальный минимум.

Ответ: 2) функция y=e^x/x имеет локальный минимум в точке x=1.