Question

Даю 39 баллов! Помогите решить уравнение: 5sin^2x-21cosx-9=0

Answer 1

$> корень у=-4 не подойдет, ведь    cos x ∈ [-1; 1] <img src=$ 0 0

Answer 2

Для решения данного уравнения мы можем использовать тригонометрические идентичности и замену переменной. Давайте начнем.

1. Замените cos(x) на sin(x) / tan(x), используя тригонометрическую идентичность cos(x) = sqrt(1 - sin^2(x)):

   5sin^2(x) - 21 * sqrt(1 - sin^2(x)) / tan(x) - 9 = 0

2. Умножьте обе стороны уравнения на tan^2(x), чтобы избавиться от знаменателя:

   5sin^2(x)tan^2(x) - 21sqrt(1 - sin^2(x))tan(x) - 9tan^2(x) = 0

3. Сделайте замену y = sin(x) и используйте тригонометрическую идентичность 1 - sin^2(x) = cos^2(x):

   5y^2(1 - y^2) - 21sqrt(1 - y^2)y / sqrt(1 - y^2) - 9(1 - y^2) / y^2 = 0

   5y^4 - 21y^3 - 9y^2 + 21y - 9 = 0

4. Разложите левую часть уравнения на множители:

   (y - 1)(5y^3 - 16y^2 - 25y + 9) = 0

5. Решите второй множитель, используя теорему о рациональных корнях:

   Подходящие рациональные корни: ±1, ±3/5, ±9/5, ±1/5 Подходящие целочисленные корни: ±1, ±3

   Подстановка корней показывает, что множитель раскладывается следующим образом: 5y^3 - 16y^2 - 25y + 9 = (5y - 9)(y^2 - y - 1)

6. Найдите корни:

   y = 1 (это корень из первого множителя) 5y - 9 = 0, y = 9/5 y^2 - y - 1 = 0, y = (1 ± sqrt(5)) / 2

7. Найдите соответствующие значения x:

   x = arcsin(y) = pi/2, pi/2, 1.176, -0.224

   Ответ: x = pi/2, 1.176, -0.224 (или любой другой угол, отличный от pi/2 на кратное 2pi).