Question

Помогите решить: 1)2cos2x=sinx-1

Answer 1

$2cos2x=sinx-1\\2(1-2sin^2x)=sinx-1\\2-4sin^2x-sinx+1=0\\-4sin^2x-sinx+3=0\\4sin^2x+sinx-3=0\\sinx=t;-1\leq t \leq1\\4t^2+t-3=0\\\sqrt{D}=\sqrt{1+48}=7\\x_{1}=\frac{-1+7}{8}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4};x_{2}=\frac{-1-7}{8}=-1\\sinx=-1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ sinx=\frac{3}{4}\\x=-\frac{\pi}{2}+2\pi*n\ \ \ \ \ \ x=(-1)^karcsin\frac{3}{4}+\pi*k$

Answer 2

Мы можем решить это уравнение, используя тригонометрические и алгебраические методы.

1. Приведем левую часть уравнения к более простому виду, используя тригонометрические тождества: $2\cos^2x-1 = \cos(2x)$ Таким образом, уравнение можно переписать как: $\cos(2x) = \sin(x)-1$

2. Перепишем правую часть, используя тригонометрические тождества: $\sin(x) - 1 = \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)-1$

3. Заменим $\cos(2x)$ в исходном уравнении на выражение из пункта 1 и заменим $\sin(x)-1$ на выражение из пункта 2: $\cos(2x) = \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)-1$

4. Для решения этого уравнения применим тригонометрическое тождество для разности углов: $\cos(2x) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\cos(x) + \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\sin(x) - 1$ $\cos(2x) = \sin(x) - 1$ $\cos(2x) - \sin(x) + 1 = 0$

5. Перепишем левую часть уравнения в виде произведения: $(\cos x - 1)(\cos x + 1) - \sin x + 1 = 0$

6. Поскольку $\cos x$ не может быть больше единицы по модулю, мы можем рассмотреть два случая:

   a) $\cos x - 1 = 0$, тогда $\cos x = 1$, $x=2\pi k$.

   b) $\cos x + 1 = 0$, тогда $\cos x = -1$, $x=(2k+1)\pi/2$.

7. Подставим решения обоих случаев в исходное уравнение и проверим их:

   a) $2\cos^2(2\pi k) - 1 = \cos(4\pi k) = 1 - 1 = 0$ и $\sin(2\pi k) - 1 = -1$, уравнение верно.

   b) $2\cos^2\left(\frac{(2k+1)\pi}{2}\right) - 1 = \cos\left((2k+1)\pi\right) = -1 - 1 = -2$ и $\sin\left(\frac{(2k+1)\pi}{2}\right) - 1 = -2$, уравнение верно.

   Таким образом, решениями у